Помогите разобраться с рангом матрицы

[tig81]

мне само свойство непонятно. В "элементарных" в чем? Умножение матриц не относится к элементарным преобразованиям строк матрицы.

А когда СЛАУ вы решаете, столбцы также меняете?

[Белый кролик]

Ага, меняю.Я как научился сам так делать... И правильно получается... То есть с ответами сходится.
Просто там элементарные преобразования доказываются так. Сначала вводится классификация "типы матриц элементарных преобразований", потом вводится определение элементарных преобразований- "элементарными преобразованиями матрицы А называются такие изменения в ее строках и столбцах,к-е возникают при умножении матрицы А на матрицы элементарных преобразований слева и справа."
Вот что помню: Умножение матрицы А на матрицу Iij слева переставляет строки с номерами i и j.
I23*А= 1 0 0 0 0          а11 а12 а13 а14 а15          а11 а12 а13 а14 а15
            0 0 1 0 0          а21 а22 а23 а24 а25          а31 а32 а33 а34 а35
            0 1 0 0 0    *    а31 а32 а33 а34 а35   =     а21 а22 а23 а24 а25
            0 0 0 1 0          а41 а42 а43 а44 а45          а41 а42 а43 а44 а45
            0 0 0 0 1          а51 а52 а53 а54 а55          а51 а52 а53 а54 а55

[tig81]

А, поняла о чем речь...

[Morskaya]

Далее делаем нули под главной диагональю, но теперь в третьем столбце. Какие элементы нам надо обнулить?

Главная диагональ -1  32  -10  -29 
Тут у меня вопросы: первую строку уже не трогаем? И почему именно делаем нули в третьем столбце? Я сложила вторую и четвертую строку:

-1   5   -3   4    -3
 0   32  -19  29  -16
 0   17  -10  15  -10
 0    0     0    0     0

[tig81]

Главная диагональ -1  32  -10  -29 
Тут у меня вопросы: первую строку уже не трогаем?

именно так

И почему именно делаем нули в третьем столбце?

очепатка, во втором

Я сложила вторую и четвертую строку:

-1   5   -3   4    -3
 0   32  -19  29  -16
 0   17  -10  15  -10
 0    0     0    0     0

правильно
Так, теперь снова будет, если на главное диагонале - элемент \( a_{22} \) будет 1. Это сделаем так, от второй строки отнимем 2 третьих. Что получится?

[Morskaya]

  0     32     -19     29     -16
-
 2/3   2/3    2/3    2/3     2/3    Результат   -2/3   94/3   -59/3   85/3  -50/3   

[tig81]

а дроби откуда?

[tig81]

Наверное, поняла. Вы меня немного не правильно поняли.
1. От строки нельзя просто отнимать число.
2. Имелось в виду, что от второй строки отнимется две третьих строки или от второй строки отнимается третья, умноженная на 2.

[Morskaya]

Теперь поняла)
(0  17  -10  15  -10) * 2  =  0  34  -20  30  -20

 0  32  -19  29  -16
-
 0  34  -20  30  -20     Результат  0  -2  1  -1  4

-1   5  -3    4   -3
 0  -2   1   -1    4
 0  17  -10  15  -10
 0   0     0    0     0   Только в  a₂₂   не единица получилась, а столбцы не меняют местами?

[tig81]

Теперь поняла)
(0  17  -10  15  -10) * 2  =  0  34  -20  30  -20

 0  32  -19  29  -16
-
 0  34  -20  30  -20     Результат  0  -2  1  -1  4

-1   5  -3    4   -3
 0  -2   1   -1    4
 0  17  -10  15  -10
 0   0     0    0     0   Только в  a₂₂   не единица получилась,  

так, а теперь делаем следующее: к третьей строке прибавляем 8 вторых строк, а затем вторую и третью строки меняем местами.

а столбцы не меняют местами?

как писал Белый кролик, то меняются, но меня учили, что в матрице работают только со строками, поэтому на столбцы у меня рука "не забита".

[Morskaya]

(0  -2  1  -1  4)*8  =  0  -16  8  -8  32

  0   17   -10  15  -10
+   
  0  -16     8   -8   32      Результат   0  1  -2  7  22
 
Меняю местами вторую и третью строку

-1  5   -3   4   -3
 0  1   -2  7    22
 0  -2   1  -1   4
 0   0   0    0   0

Теперь на  a₂₂  единица. Далее, наверное, надо   вторую строку умножить на  2 и к результату прибавить третью строку

-1   5   -3   4   -3
 0    1  -2   7    22
 0    0   -3  13  48
 0    0    0    0    0   
 

[tig81]

Да, все верно. Получили ступенчатую матрицу. Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк.

[Morskaya]

Благодарю за очень подробное и понятное объяснение!

[tig81]

Т.е. разобрались? Пожалуйста!