Помогите разобраться с рангом матрицы

[Morskaya]

Проблема в том, что не могу понять теорию по нахождению ранга. Пробовала методом элементарных преобразований - не получается.

    6  2  -1  5  2
    7  -3  2  1  5
А=4  -3  2  -1  2
   -5  -7  4  -9  1

Я не могу понять, каким образом элементы первого и второго столбца  обнуляют, поэтому сдвинуть с места данное вычисление не получается(

[tig81]

Ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований над ее строками.

Какие элементы вы хотите обнулить вначале?

[Morskaya]

Вначале обнулить элементы первого столбца, но вот каким образом всё это делается...

[tig81]

Вначале обнулить элементы первого столбца, но вот каким образом всё это делается...

будет проще всего, если элемент а[1, 1] будет равен 1. Для этого смотрим есть ли среди элементов первого столбца те, которые равны 1. Если да, то строку, в которой он находится, меняем местами с первой
2. Если нет, выполняем действия, чтобы сделать его равным 1. Какие числа у вас стоят в первом столбце, как и какие из них можно сложить/отнять, чтобы получить 1?

[Morskaya]

В первом столбце нет единиц, значит можно из второй строки вычесть первую, тогда в a(1,1) будет единица, если я правильно поняла.

[tig81]

Как один из вариантов, только будет -1, но впринципе нас это также устраивает.
Можно к первой прибавить последнюю (-5) и тоже нам подходит.
Отнимайте от первой строки вторую.

[Morskaya]

-1  5  3  4  -3   при вычитании получилось, а потом что?

[tig81]

-1  5  3  4  -3   при вычитании получилось, а потом что?

почему 3?
Записывайте получившуюся матрицу полностью.
Далее по аналогии как вы сделали из 6 1 (ну или -1), делайте в первом столбце 0, кроме первого элемента, работая с первой строкой. Во второй строке у вас первый элемент равен 7, а в первой строке - (-1). На сколько надо умножить -1, чтобы прибавить/отнять ее к 7 и получить 0?

[Morskaya]

6  2  -1  5  2
7  -3  2  1  5
4  -3  2  -1  2
-5  -7  4  -9  1
1)Из первой строки вычитаю вторую. Результат  -1  5  -3  4  -3

-1  5  -3  4  -3
7  -3   2  1  5
4  -3  2  -1  2
-5  -7  4  -9  1

2)Затем, первую строку умножаю на 7. Результат     -7  35  -21  28  -21 и прибавляю  7  -3  2  1  5

-1  5   -3    4   -3
0   32  -19  29  -16
4  -3     2    -1   2
-5  -7   4    -9   1

3)Первую строку умножаю на 4 и прибавляю   4  -3  2  -1  2

-1  5   -3   4   -3
0  32  -19  29  -16
0  17  -10  15  -10
-5  -7   4   -9     1

4)Первую строку умножаю на (-5) и прибавляю  -5  -7  4  -9  1

-1   5    -3    4    -3
0   32   -19  29   -16
0   17   -10  15   -10
0   -32   19  -29   16

Вот что получилось, если, конечно, я сделала все верно. Ну а если вышенаписанное бред, исправьте, пожалуйста, не математик я, но понять хочу смысл. И последующие шаги решения -
какие они?

[Белый кролик]

Попробую объяснить.
1.У нас есть матрица  6   2  -1   5  2
                                 7  -3   2   1  5
                                 4  -3   2  -1  2
                                -5  -1   4  -9  1
Первый элемент первой строки:6. Это нам не очень удобно, лучше чтоб элемент был равен 1,-1, 2 или 5. По элементарным преобр.я могу менять столбцы местами, поменяю 1 и 3 столбец и получу первым элементом заветную -1.Получилось:

 -1   2   6   5  2
  2  -3   7   1  5
  2  -3   4  -1  2
  4   5  -5  -9  1

2. Дальше нужно обнулить элементы первой строки, т.е. получить так:
-1   2   6   5  2
  0  -3   7   1  5
  0  -3   4  -1  2
  0   5  -5  -9  1
Как это сделать? Мы знаем,что если сложить два одинаковых по модулю, но разных по знаку числа, то получится ноль. Например, -5+5=0.
Второй элемент первой строки:2. Что нужно прибавить, чтоб получить 0? -2. Получается 2 + (-2) = 0. То есть нам нужно домножить первый элемент первой строки (-1) на такое число (х), чтоб получилось -2. Т.е. -1*х=-2, х=2.
Третий элемент первой строки:2. Чтоб его обнулить нужно к нему прибавить -2. Аналогично, как со вторым элементом.
Четвертый элемент:4. Чтоб его обнулить, нужно добавить -4. То есть первый элемент(-1) домножаем на такое число, пока нам неизвестное(х), чтоб получилось -4. Т.е. -1*х=-4, х=4. Получилось! Теперь досчитаем остальные элементы:
-1    2   6   5  2        *2  *2  *4
  0  -3   7   1  5
  0  -3   4  -1  2
  0   5  -5  -9  1
Начнем со второго столбца.
Умножим первый элемент второго столбца (2) на 2, чтоб высчитать второй элемент. 2*2=4. Теперь ко второму элементу прибавляем то,что получилось -3+4= -1. -1 -это новый второй элемент второй строки.
Считаем третий элемент: умножаем первый элемент второй строки(2) на 2, чтобы посчитать новый  третий элемент: 2*(2)=4. -3 +4= -1.
Считаем четвертый элемент: умножаем первый элемент второй строки (2) на 4, чтоб посчитать новый четвертый элемент: 2*4=8, 5+8=13
Получилось:
 -1     2   6   5  2        *2  *2  *4
  0    -1  7   1  5
  0    -1  4  -1  2
  0   13  -5  -9  1
Теперь досчитайте новые элементы 3-го и 4-го столбца.

[tig81]

2)Затем, первую строку умножаю на 7. Результат     -7  35  -21  28  -21 и прибавляю  7  -3  2  1  5

т.е. ко второй прибавляете 7 первых

3)Первую строку умножаю на 4 и прибавляю   4  -3  2  -1  2

т.е. к третьей прибавляете 4 первых

4)Первую строку умножаю на (-5) и прибавляю  -5  -7  4  -9  1

Или, что тоже самое, первую умножаете на 5 и отнимаете от четвертой.

Вот что получилось, если, конечно, я сделала все верно.

все верно

И последующие шаги решения - какие они?

Далее делаем нули под главной диагональю, но теперь в третьем столбце. Какие элементы нам надо обнулить?

[tig81]

По элементарным преобр.я могу менять столбцы местами, поменяю 1 и 3 столбец и получу первым элементом заветную -1.

В матрице со столбцами не работают, только в определителе. Элементарные преобразования и называются - элементарные преобразования строк матрицы

[Белый кролик]

Почему нельзя столбцы? В книжке Малугина В.А. "Линейная алгебра для экономистов" написано,что можно. (издат Эксмо)
Например, там есть такая теорема:" Ранг матрицы равен числу ее независимых строк(столбцов).
И в элементарных написано,что "Умножение матрицы А на матрицу Iij справа переставляет столбцы с номерами i и j."
И в книжке Н.Ш.Кремера "Практикум по высшей математике для экономистов" написано при разборе примера: " С помощью эквивалентных преобразований приведем матрицу А к треугольному виду.Если возможно, перестановкой строк(столбцов) добиваемся того,чтобы элемент а11=1..."

[tig81]

И в элементарных написано,что "Умножение матрицы А на матрицу Iij справа переставляет столбцы с номерами i и j."

Это не поняла.

[Белый кролик]

К сожалению, там это свойство приводится без доказательств. Давайте так, я на следующей неделе зафоткаю эти страницы и вы почитаете,что там Малугин написал.
Это все-таки книжка для экономистов, а не для математиков, так что может там что-то "упрощенное-усредненное" подано, чтоб бедные экономисты голову не сломали.