Решение предела с помощью (без) правила Лопиталя; консультация

[p1ggy]

Предел вида:
Lim sin3pix/(1-x^2), при x->1
По правилу Лопиталя все отлично: получилось 3пи/2, но при решении без него, появляются проблемы:
Получается так: я делаю в знаминателе домножение на 3pix, чтобы сократить по 1 замечательному пределу, делаю это, выходит 3pi/0 = oo
Верно?

[tig81]

чтобы сократить по 1 замечательному пределу,

1. Т.е. сократить по первому замечательному?
2. Первый замечательный - это если х стремится к 0, а у вас к 1.

[p1ggy]

Да, точно... Тогда каким образом можно решить, можете подсказать хотя бы идею?

[tig81]

для начала сделайте замену х-1=у, после этого переменная будет стремится к нулю, а затем уже что-то пытатась ,как вы делали

[p1ggy]

Я так и сделал: заменил, привел с помощью 1ого замечательного предела к виду: Lim (y+1)/y, при y->0;
Выходит после подстановки следующее: Lim (x-1+1)/(x-1), при x->1, т.е. в итоге тоже (1/0)=oo
Скажите, разве ответы будут разные с (без) правила Лопиталя?

[wital1984]

ответы разными быть не могут. вы где-то ошиблись (с лопиталем все правильно)

[tig81]

Я так и сделал: заменил, привел с помощью 1ого замечательного предела к виду: Lim (y+1)/y, при y->0;
Выходит после подстановки следующее: Lim (x-1+1)/(x-1), при x->1, т.е. в итоге тоже (1/0)=oo
Скажите, разве ответы будут разные с (без) правила Лопиталя?

показывайте полное решение (лучше картинку), посмотрим

[renuar911]

В свое время я занимался исследованиями подобных пределов. В моей таблице в результате появилась красивая формула:

\( \lim \limits_{x \to 0} \frac{sin[n \pi (x+m)]}{x(x+p)}=(-1)^{nm}\frac{n \pi }{p} \)

где  n, m, p - целые числа

На основе данного тождества и решается Ваш предел без правила Лопиталя. Особенно интересен анализ графиков. Но это тема - на несколько страниц. Исследования можно будет посмотреть в одной из глав моей готовящейся книги.

В Вашем примере замена  x=y+1. Получим

\( \lim \limits_{y\to 0} \frac{sin[3 \pi (y+1)]}{1-(y+1)^2}=-\lim \limits_{y\to 0} \frac{sin[3 \pi (y+1)]}{y(y+2)}=-(-1)^{3 \cdot 1} \frac{3 \pi}{2}=\frac{3 \pi}{2}  \)