Решить систему уравнений(с корнями)

[Matthew]

Дана система
(x+y)^1/2 + (x²+xy) ^1/2 = 3;
x+y+x²+xy=5

Если первую возвести в квадрат, то получится  x+y+2*((x+y)(x²+xy))^1/2+x²+xy=9
если x+y+x²+xy заменить на 5, то получится:
((x+y)(x²+xy))^1/2=2
x³+x²y+x²y+xy²=4
x(x²+2xy+y²)=4
x(x+y)²=4

x+y+x²+xy раскладывается на (x+y)(x+1)

Дальше что-то ничего не получается, подскажите пожалуйста

[tig81]

x+y+x²+xy раскладывается на (x+y)(x+1)

Первое равенство (левую часть) также попробуйте разложить на множители

[Matthew]

а как так получается что (x+y)(x+1)=5, а ((x+y)(1+x))^1/2=3?

[tig81]

((x+y)(1+x))^1/2=3?

А как такое получилось?

[Matthew]

пересчитал, получилось
(x+y)^1/2(1+x)=3

[tig81]

Да, и у меня так получилось.
Теперь можете, например, первое уравнение поделить на второе и выразить х через у.

[Matthew]

5(x+y)^1/2=3(x+y)
5=3(x+y)^1/2
(x+y)^1/2=5/3
x+y=25/9
y=25/9-x
(x+25/9-x)(x+1)=5
25/9(x+1)=5
x+1=9/5
x=4/5
y=25/9-4/5
y=(125-36)/45
y=89/45

Так правильно?

[tig81]

пересчитал, получилось
(x+y)^1/2(1+x)=3

Увидела, где ошибка, во второй скобке второе слагаемое не х.

[Matthew]

А какое, а то мозг уже вообще вскипел, не соображаю ничего((

[tig81]

А какое, а то мозг уже вообще вскипел, не соображаю ничего((

Вроде \( \sqrt{x} \), но также проверьте, могла ошибиться

[Matthew]

не знаю, не знаю
тогда (x+y)^1/2*(1+x^1/2)                                       3
        ---------------------------------------- =   -----
                        (x+y)(1+x)                                  5
5(1+x^1/2)=3(x+y)(1+x)
5(1+x^1/2)=15
1+x^1/2=3
x^1/2=2
x=4
(4+y)(1+4)=5
y=-3
когда подставляешь эти корни в первоначальную систему, то вроде бы все верно. Но позже я заметил, что из числителя просто так убрал (x+y)^1/2

[tig81]

Еще одна пара должна быть

Да, действительно, непонятно, куда делось это выражение

[Matthew]

получилось, что я его автоматически к единице приравнял, это выражение...
в общем, я не знаю, как эту дробь сократить, или другие способы искать надо?

[tig81]

Ну сократить вы ее скорее всего не сократите...
Что первое в голову пришло.
Выразите из первого равенства \( \sqrt{x+y}(\sqrt{x}+1)=3 \) выражение \( \sqrt{x+y} \) и подставьте во второе

[Matthew]

Так и сделал
первая пара x=2, y=-1/3
вторая пара x=1/2, y=17/6

получается, что x=4, y=-3 тоже подходит, но если решать по предложенному вами способу, то такой пары не получается.