Дифференциальное уравнение первого порядка

[glora]

Найти общее решение уравнения

\( y^\prime+cos(x+6)y=\frac{1}{1+x^2}*e^{sin(x+6)} \)

Решение
\( y=U*V, y^\prime=U^\prime*V+U*V^\prime \)
\( U^\prime*V+U(V^\prime+Vcos(x+6))=\frac{1}{1+x^2}*e^{sin(x+6)} \) (*)

Выберем V так, чтобы \( \frac{dV}{dx}+Vcos(x+6)=0 \)      откуда    \( V=e^{-sin(x+6)} \)
Подставляя в уравнение (*)значение V, получим
\( e^{-sin(x+6)}\frac{dU}{dx}=\frac{1}{1+x^2}*e^{sin(x+6)} \)
\( dU=\frac{e^{2sin(x+6)}}{1+x^2}dx \)   Неберущийся интеграл..... подскажите, что делать

[renuar911]

Если у Вас все верно (не проверял), то можно разложить в ряд Тейлора

\(  0.5718771998+ 1.098198990\,x+ 0.6423721917\,{x}^{2}- 0.2994054852\,{x
}^{3}- 0.3661737042\,{x}^{4}+ 0.2502801317\,{x}^{5}+ 0.2445861051\,{x}
^{6}- 0.3216790236\,{x}^{7} \)

и тогда интеграл легко берется.
Но скорее всего что-то Вы сложно получили. Студентам такое обычно не дают.

К сожалению, аппроксимация Тейлором желает ждать лучшего. Я поиграл полиноммами и нашел наиболее приемлемое такое решение (для подинтегрального выражения):
2.038525849-.1403551358*(x-1.4)-1.603848572*(x-1.4)^2-.1110502000*(x-1.4)^3+.7069997358*(x-1.4)^4+.1955736361*(x-1.4)^5-.2450377782*(x-1.4)^6-.1093119699*(x-1.4)^7+0.6690778111e-1*(x-1.4)^8+0.3900074267e-1*(x-1.4)^9-0.1180482497e-1*(x-1.4)^10-0.1221716929e-1*(x-1.4)^11+0.1143325696e-2*(x-1.4)^12+0.3371227625e-2*(x-1.4)^13-0.3762923176e-4*(x-1.4)^14-0.6642211794e-3*(x-1.4)^15-0.8690925642e-4*(x-1.4)^16+0.1130142319e-3*(x-1.4)^17+0.4828567534e-4*(x-1.4)^18

Сравнение графиков показало, что совпадение наблюдается в узком интервале (красная линия - это Ваша формула):



Вывод такой: если у Вас интервал  0<x<3, то предложенный метод допустим. Если ничего про x неизвестно, то нужно искать другие методы (например, применить ряды Фурье). Или обнаружить ошибку.
Все что я написал - это для Вашего саморазвития, ибо аппроксимация функций - одна из интереснейших  проблем прикладной математики.

[renuar911]

Я на свежую голову посмотрел Ваше ДУ и сделал вывод: у Вас опечатка. Правая часть должна быть:

\( \frac{e^{-sin(x+6)}}{1+x^2} \)

Тогда решение простое:

\( y=e^{-sin(x+6)} \big [arctg(x)+C_1 \big ] \)

[glora]

Да, скорее всего опечатка. Спасибо.