Нужна помощь в исследовании функции

[Olegg]

Прошу помощи.
Попался вариант исследования функции y=x+2x/(x^2-1)
 
x не равно 1 x не равно -1
Область опр (-беск;-1) (-1;1) (1;+беск)
Функция - нечетная
Застрял на 1 и второй производных
первая получилось y^,=1-(2x(x^2+1)/(x^2-1)^2
какой вывод отсюда следует не понимаю, y^, не существует?
а если еще пробовать упростить то может так? y^,=x^4-4x^2-1 тут корень тока один
Экстремумов нет?
А вторая производная выдает тогда x= корень из 2, и это явно не точка перегиба.
Подскажите где ошибка и направление хотя бы.
Просьба не смеяться. если глупости написал, просто школа была лет ...цать назад, а учится как то все равно надо))

[tig81]

первая получилось y^,=1-(2x(x^2+1)/(x^2-1)^2

Запись не совсем понятна и покажите, как находили первую производную (наберите решение в ТеХе либо прикрепите картинку, как это сделать, посмотрите у меня в подписи)

какой вывод отсюда следует не понимаю, y^, не существует?

А почему не существует? Вам надо найти точки, в которых первая производная равна нулю или не существует

[Olegg]

Попробую

Я думал что первая производная позволяет вычислить точки экстремума функции

[tig81]

Я думал что первая производная позволяет вычислить точки экстремума функции

ну да

Все верно сделали. Производная не существует в точках +-1, это вы нашли. Действительными корнями записанного уравнения четвертой степени есть \( \sqrt{2+\sqrt{5}},\,-\sqrt{2+\sqrt{5}} \). Исследуйте поведение производной в этих четырех точках

[Olegg]

Ну у меня (в голове:)) получается что точки -1 и +1 - критические (точки разрыва)
а получившиеся корни первой производной не являются экстремумами,
так как функция в них не меняет интервалы возрастания-убывания и знак с + на - и наоборот
А во второй производной

\( y=4\cdot x^{3}-8\cdot x=0 \)
\( x=\sqrt{2} \)

так?
Здесь опять непонятно.
Я думал будет точка перегиба в 0;0 тем более если функция нечетная и пересекает ось x в точке (0;0)?

[tig81]

получается что точки -1 и +1 - критические (точки разрыва)

Критические точки и точки разрыва - это разные вещи

а получившиеся корни первой производной не являются экстремумами,

Почему?

так как функция в них не меняет интервалы возрастания-убывания и знак с + на - и наоборот

Показывайте как знаки находили?

А во второй производной

Вторая производная не такая

[Olegg]

Критические точки - внутренние точки области определения, в которых производная не существует.
А так как точки x=1 x=-1 не входят в область то и не являются таковыми так?

По поводу экстремумов ошибку нашел, пересчитал
получилось:

[Olegg]

вторая производная у меня

[Olegg]

У меня в вычислениях второй производной выше на снимке по моему ошибка

Если вторая производная
\( y=4\cdot x^{3}-8\cdot x=0 \)
то все интервалы выпуклости на месте

[tig81]

вторую неправильно нашли, неверно найдена производная знаменателя

[Olegg]

вторую неправильно нашли, неверно найдена производная знаменателя

Извините, но не вижу ошибку.

[tig81]

Извините, но не вижу ошибку.

Чему равна производная от \( (x^2-1)^2 \)?

[Olegg]

В производной частного знаменатель берется в квадрат. Без производной. Если я не путаю.

[tig81]

В производной частного знаменатель берется в квадрат. Без производной. Если я не путаю.

а в числителе же находится во втором слагаемом производная от знаменателя?
Так чему равна производная от указанного выражения?

[Olegg]

Чему равна производная от \( (x^2-1)^2 \)?

\( 2(x^2-1)(2x) \)
так?