Найти вероятность попадания СВ в интервал

[glora]

Как найти вероятность попадания СВ в промежуток \( |x|>\frac{10}{9} \), если f\( (x)=\frac{2}{9}*x \) при \( 0<x<3 \) и \( f(x)=0 \) при \( 0>x>3 \)?

Решая неравенство \( |x|>\frac{10}{9} \), получим \( -\frac{10}{9}>x>\frac{10}{9} \)... Как рассматривать промежуток попадания случайной величины, если он от минус бесконечности, к примеру?

[Dev]

Да как же это у Вас такие неравенства выходят? Что такое \( 0 > x > 3 \)? А второе неравенство? Как одновременно \( x \) может быть меньше отрицательнго числа и больше положительного? Разрешите оба неравенства правильно.

[glora]

Dev, неужели вы не сталкивались с тем, чтобы \( x \) был меньше отрицательного числа и больше положительного. Например, объединение интервалов (что и есть в данном случае). Если Вам сложно понять, то отмечайте значения \( x \) на числовой прямой.
Так вот вопрос и стоит, как найти вероятность попадания СВ в объединение интервалов? Для вероятности попадания величины в интервал есть формула. Как быть с объединением интервалов?

[tig81]

Dev, неужели вы не сталкивались с тем, чтобы \( x \) был меньше отрицательного числа и больше положительного. Например, объединение интервалов (что и есть в данном случае).

НЕ сомневаюсь, что сталкивался/лась, но то, как вы это пишите, еще не означает, что это верно, т.к. из вашего неравенства получается, что 3<0, а это, судя по всему, неверное неравенство.
Пишут так: x<0, x>3, \( x\in (-\infty; 0) \bigcup (3; +\infty) \)

Поэтому грубить не стоит и тем более что-то там заставлять отмечать на числовой прямой. Если вам говорят компетентные люди, что не правильно, значит это так и есть; если не доверяете их мнению, так зачем у них консультироваться. Математика не терпит недоговоренностей и неточностей.

[glora]

Абсолютно не грублю. Вам, tig81, показалось. Просто, когда задаешь конкретный вопрос, а мне отвечают, что я не совсем корректно записала задание.....

Впрочем, sorry, если что не так

[Dev]

И в чём состоит "конкретный вопрос"? Только без всяких невыполнимых неравенств.

[tig81]

Просто, когда задаешь конкретный вопрос, а мне отвечают, что я не совсем корректно записала задание...

Но я вас убедила, что вы некорректно записали задание?

[glora]

Случайная величина задана плотностью распределения вероятности
\( f(x) = \begin{cases}
  0,  &   x\leq0, \\
  \frac{2}{9}x, & 0<x\leq3,\\
0, & x>3
\end{cases} \)

Найти вероятность попадания  СВ в промежуток \( |x|>\frac{10}{9} \)
Решая неравенство получим
\( x\in(-\infty;-\frac{10}{9})\cup(\frac{10}{9};+\infty) \)
Как в данном случае находить вероятность попадания СВ в интервал?

[glora]

Если бы был интервал \( (b;c) \), например, находили бы как

\( P(b\leq x\leq c)=\int_{b}^{c} \frac{2}{9}x dx \)

А как в данном случае? Ну вроде бы четко сформулировала)))

[Dev]

Даже если бы был интервал, не всегда бы \( \frac29x \) по нему интегрировали. Может быть, где-то внутри интервала плотность равнялась бы нулю? Например, был бы у нас интервал \( [-2,\,2] \) - на нём плотность от -2 до 0 нулевая, и только от 0 до 2 равна \( \frac29x \).
Ну и здесь нужно интегрировать плотность по данному объединению интервалов:
\( \mathsf P(X\in (-\infty;\,-\frac{10}{9})\cup(\frac{10}{9};\,+\infty)) = \int_{-\infty}^{-10/9} f(x)dx + \int^{+\infty}_{10/9} f(x)dx. \)
Чему равна \( f(x) \) в первом интеграле - для \( x\in (-\infty;\,-\frac{10}{9}) \)?
На какие два интеграла следует разбить второй в зависимости от значений \( f(x) \)?

Вообще, очень рекомендуется: нарисовать график плотности. Отметить область на оси абсцисс, в которую случайной величине хочется попасть. Заштриховать площадь под графиком плотности над этой областью, какая будет. Вот и увидите, что и в каких границах нужно интегрировать.

[glora]

Итак,

\( P(x\in(-\infty;-\frac{10}{9})\cup(\frac{10}{9};+\infty))=\int_{-\infty}^{-\frac{10}{9}} 0 dx+\int_{\frac{10}{9}}^{3} \frac{2}{9}x dx+\int_{3}^{+\infty} 0 dx=\frac{1}{9}x^2\mid_{\frac{10}{9}}^{3}\approx0.86 \)

[Dev]

Совершенно верно.