Частные производные первого порядка полной дифференц. функц.

[джуди]

Я нашла частные производные . Так как эти примеры из контрольной, мне нужно чтоб кто нибудь их проверил . И если, что не так , пожалуйста исправте.


a)\( z=x^2+2xy+y^2 \)
\( {z}'x=2x+2y \)
\( {z}'y=2x+2y \)
\( dz=(2x+2y)dx+(2x+2y)dy \)

b)\( z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2 \)
\( {z}'x=3x^2+2xy^2-6yx \)
\( {z}'y=x^3+2x^2y-3x^2+4y \)
\( dz=(3x^2+2xy^2-6yx)dx+(x^3+2x^2y-3x^2+4y)dy \)

c)\( z=\sqrt{y+3}+sin \frac{x^2}{2} \)
\( {z}'x=0+cos\frac{x^2}{2}(\frac{x^2}{2})'=xcos\frac{x^2}{2} \)
\( {z}'y=\frac{1}{2\sqrt {y+3}}+0=\frac{1}{2\sqrt{y+3}} \)

d)\( z=cos(5x^2-y)  \)
\( {z}'x=-sin(5x^2-y)\cdot(5x^2-y)x'=-sin(5x^2-y)\cdot(10x-0)=-10xsin(5x^2-y) \)
\( {z}'y=-sin(5x^2-y)\cdot(5x^2-y)y'=sin(5x^2-y) \)
\( dz=(-10xsin(5x^2-y))dx+(sin(5x^2-y))dy \)

e) \( z={\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}+siny \)

  \( {z}'x={\frac{2x\cdot\sqrt{2x+y}-{2x\cdot\sqrt{2x+y}}}{\sqrt{2x^2}} \)

  \( {z}'y={\frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}} \)

   \( dz=({\frac{2x\cdot\sqrt{2x+y}-{2x\cdot\sqrt{2x+y}}}{\sqrt{2x^2}})dx+({\frac{\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2}}{\sqrt{y}})dy \)

[tig81]

мне нужно чтоб кто нибудь их проверил ..

Дайте преподавателю, пусть проверяет, это его работа.

b)\( z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2 \)
\( {z}'x=3x^2+2xy^2-6yx \)

Первое слагаемое проверьте

e) \( z={\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}+siny \)

Тут неправильно...

[джуди]

b)\( z=x^3y+x^2y^2-3yx^2+2y^2 \)
\( {z}'x=3x^2+2xy^2-6yx \)

Первое слагаемое проверьте

Ой, ошиблась. cпс.
\( {z}'x=3x^2y+2xy^2-6yx \)
 А как тогда е) решить ? Помоги пожалуйста

[tig81]

как находится производная от частного?

[джуди]

как находится производная от частного?

\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \)

[tig81]

подставляйте аккуратно свои функции

[джуди]

\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \)


\( \left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}\right)'+siny = \frac{(x^2)'\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot(\sqrt{x^2+y})'}{(\sqrt{x^2+y})^2}+siny \)


Это всё, что у меня получилось, а вот со считать я это не могу

[tig81]

\( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2} \)


\( \left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}\right)'+siny = \frac{(x^2)'\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot(\sqrt{x^2+y})'}{(\sqrt{x^2+y})^2}+siny \)
Это всё, что у меня получилось, а вот со считать я это не могу

1. Синус тоже со штрихом
2. В чем проблемы с вычислением производной?

[джуди]

Да(((

[tig81]

Да(((

что да? не поняла

[джуди]

\( \left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}\right)'+siny =  \)

\( =\frac{(x^2)'\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot(\sqrt{x^2+y})'}{(\sqrt{x^2+y})^2}+sin'y= \)

\( =\frac{2x\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot\sqrt2x}{(\sqrt{x^2+y})^2}+cosy= \)

\( =\frac{2x\cdot ({x^2+y})^\frac{1}{2} - x^2\cdot(2x)^\frac{1}{2}}{({x^2+y})^\frac{2}{2}}+cosy \)

Это так?

[tig81]

1. Почему второе слагаемое - siny - не под знаком производной (в первой строке)?
2. Вы сейчас производнею по какой переменной находите?
3. Производную от корня взяли неправильно: \( (\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u' \)

[джуди]

\( \left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}\right)'+sin'y
=\frac{(x^2)'\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot(\sqrt{x^2+y})'}{(\sqrt{x^2+y})^2}+sin'y \)

\( z'x=\frac{2x\cdot \sqrt{x^2+y}-x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}\cdot 2x+y}{(\sqrt{x^2+y})^2} \)

\( z'y=\frac{\sqrt{x^2+y} \cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}\cdot x^2}{(\sqrt{x^2+y})^2}+cosy \)

[tig81]

sin'y

Правильнее писать \( (\sin{y})' \)

Откуда в числителе появилось во втором слагаемом +у?
Объясните, как находили z'_y

[Fairmont]

\( \left(\frac{x^2}{\sqrt{x^2+y}}\right)'+sin'y
=\frac{(x^2)'\cdot (\sqrt{x^2+y}) - x^2\cdot(\sqrt{x^2+y})'}{(\sqrt{x^2+y})^2}+sin'y \)

\( z'x=\frac{2x\cdot \sqrt{x^2+y}-x^2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}\cdot 2x+y}{(\sqrt{x^2+y})^2} \)

\( z'y=\frac{\sqrt{x^2+y} \cdot\frac{1}{2\sqrt{x^2+y}}\cdot x^2}{(\sqrt{x^2+y})^2}+cosy \)

z'y
Учтите, что "х" у вас константа, а производная от константы 0 и первого слагаемого не будет.