Правильно ли расставлены пределы в двойном интеграле

[Folga]

\( \iint_{D} (y^2-4xy) dxdy,  D: x+y=-2, y=-x^2, x=0 \)
У меня получилось так:
\( \int_{-1}^0dx\int_{-x^2}^{-2-x}(y^2-4xy)dy \)
\( \int_{-2}^{-1}dy\int_{-2-y}^{0}(y^2-4xy)dx+\int_{-1}^0dy\int_{0}^{\sqrt{-y}}(y^2-4xy)dx \)

[tig81]

А покажите, какая у вас область D получилась, ее чертеж.

[Folga]

Во вложениях картинка

[tig81]

А почему вы именно слева от оси ординат брали область? Подобная и справа от нее есть.

[Folga]

потому что область ограничена прямой \( x=0 \)

[tig81]

да, именно прямой, а не неравенством x<0. Поэтому я однозначно не скажу, какую часть брать

[Folga]

И как же наиболее корректно поступить в этой ситуации. Других условий в задании нет

[tig81]

Уточнить у преподавателя, он будет проверять.

[Folga]

Преподаватель сказал взять любую из областей на выбор. Допустим выбрали ограничение x<0.
Возвращаюсь к исходному вопросу: правильно ли расставила пределы?

[tig81]

в первом случае: почему у изменяется от параболы до прямой?
во втором случае, во втором слагаемом, почему х от 0 до \( \sqrt{-y} \)

[Folga]

Наверное их действительно нужно поменять местами.
Но когда начинаю вычислять, у меня не совпадают результаты, в первом случае получается \( -\left \frac{25}{84} \right \), а во втором \( -\left \frac{73}{84} \right \)

[tig81]

Желательно бы: х изменяется слева направо, у - снизу вверх
надо смотреть

[Folga]

\( \int^{0}_{-1}{(\frac{y^3}{3}-2xy^2)|^{-x^2}_{-2-x}}=\int^{0}_{-1}{[\frac{(-x)^6}{3}-2x(-x^2)-\frac{(-2-x)^3}{3}-2x(-2-x)^2]dx}=\left(-\frac{(-x^7)}{21}-2\frac{((-x)^4)}{4}+\frac{((-2-x)^4)}{12}+2(2x^2+\frac{(4x^3)}{3}+\frac{(x^4)}{4})\right)|^{0}_{-1} \)
это для первого случая. проверьте пожалуйста