Двойной интеграл

[Konstant]

привет всем! Подскажите или подтолкните в правильном направлении. Нужно вычислить с помощью двойного интеграла в полярной системе координат площадь фигуры, ограниченной линией, заданной в декартовых координатах.
(x^2+y^2)^2+2xy = (x^2+y^2)               Заранее спасибо!!!!!!!!

[tig81]

Сначала надо сделать чертеж.

[renuar911]

Чертеж сделать, конечно трудно. Лучше перевести в полярные координаты данное уравнение. Если сделать перевод при помощи стандарных замен

\( x=r \, cos(t) \)

\( y=r \, sin(t) \)

то преобразованиями легко получите:

\( r = \sqrt{1-sin(2t)} \)

А это - уравнение двух окружностей:

plot([sqrt(1-sin(2*t)), t, t = 0 .. 2*Pi], color = black, coords = polar)



Проверим на всякий случай правильность рисунка, построив его из исходного уравнения, но как кривую типа knot:

> with(algcurves); f := (x^2+y^2)^2+2*x*y-x^2-y^2; plot_real_curve(f, x, y);



Все верно.

Теперь настало время подумать каким образом найти площадь хотя бы одного круга.

Вы, конечно, должны это сделать при помощи интеграла, а я найду ответ простым способом. Для этого найду диаметр окружности. Из рисунка видно, что его можно найти, если в полярное уравнение подставить угол\(  t=-\frac{\pi}{4} \). Тогда \( d=r_{max}=\sqrt{2} \)

Следовательно площадь одного круга равна \( \frac{\pi}{2} \), а двух кругов , следовательно, равна \( \pi \)