Предел

[renuar911]

Как такой решить без Лопиталя? (Да и лопиталить приходится аж 3 раза):

\(  \lim \limits_{x \to 0}  {\frac {x-\sin \left( x \right) }{tg \left( x \right) -\sin \left( x \right) }}  \)

[tig81]

(Да и лопиталить приходится аж 3 раза):

А чего так много?

[renuar911]

Неопределенности заставляли. Пока не появились только одни косинусы - ну ни в какую!
Но мне хочется решить именно без оных, то есть без лопиталей.
Вольфрам не желает предел этот вычислять...
Я смог найти предел рядом Тейлора, но хотелось бы и без него обойтись...

[tig81]

Один раз применяем правило Лопиталя:

\(  \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin{x}}{tg{x}-\sin{x}} \)

\(  \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin{x}}{tg{x}-\sin{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos{x}}{\frac{1}{cos^2{x}}-\cos{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{\cos^2{x}(1-\cos{x})}{1-\cos^3{x}}= \lim_{x \to 0}\frac{\cos^2{x}(1-\cos{x})}{(1-\cos{x})(1+\cos{x}+\cos^2{x})}=... \)

[renuar911]

Спасибо! В принципе, ясно, что проблем нет с Лопиталем. Но вот как без него можно - это очень меня волнует. Этот предел я сам изобрел и сам же запутался.

[tig81]

не придумала... Пробовала преобразовать, но пока ни к чему это не привело.

[renuar911]

Эх, последняя надежда рухнула... И Dimka1 молчит, как партизан!