Построить графики и исследовать функции.

[Cheshire]

   Возникли вопросы в построении и исследовании функции. Просьба помочь....
1. y = x^3 + x^2 - 2
2. y = (2x - 2)/(x + 1)^2

   В первом случае возникли проблемы с определением точек пересечения с осью ОХ. И есть сомнения с асимптотами.
Вертикальной асимптоты нет, т.к. функция определена при всех Х. Горизонтальной и Наклонной асимптоты нет. Уточнить так же хотела: точкой максимума является (0;-2) ;точкой минимума - (2/3;-1,3)
   Во втором случае определить асимптоты не могу (запуталась). Но кажется: Горизонтальной и наклонной асимптоты нет. А Вертикальная вызвала сомнения. Объясните как её найти. Определить не выходит точки экстремума... Производная не вычисляется.
  Черным первый, красным второй.

 На рисунке первый график пересекается с осью ОХ, но я не могу решить уравнение для нахождения этих точек: x^3 + x^2 - 2 = 0

[renuar911]

\( x^3+x^2-2=0 \)

Это кубическое уравнение раскладывается на множители:

\( (x-1)(x^2+2x+2)=0 \)

Один действительный корень  x=1

Квадратное уравнение дает только мнимые корни.

[Cheshire]

А асимптоты я правильно определила??

[renuar911]

Во втором примере вертикальная асимтота конечно же есть - это линия x=-1. Поскольку - точка разрыва.
Горизонтальная асимптота y=0, поскольку если взять пределы как для x->+беск., так и для x-> - беск., то получим 0.

[Cheshire]

А что с производной второй функции??
Я её вычисляла по правилу дифференцирования деления, но по ходу где то допустила ошибку. Правильно?

[renuar911]

Производная такая:

\( y'=\frac{2}{ \left( x+1 \right) ^{2}}-2\,{\frac {2\,x-2}{ \left( x+1 \right) ^{3}}} \)

Упрощая, получим:

\( y'=2\frac{3-x}{(x+1)^3} \)

Следовательно, экстремум будет при x=3. Вот график этой части:

[Cheshire]

А почему? Никак не могу понять....

[renuar911]

При экстремумуе производная равна нулю. Если y' приравнять нулю, то получим x=3 (посмотрите на формулу для y')
Есть у функции еще и точка перегиба. Для этого нужно найти вторую производную и приравнять нулю.
Сейчас это сделаем.

\( y''=-\frac{2}{(x+1)^3}+\frac{6(x-3)}{(x+1)^4} \)

Упрощая, получим:

\( y''=\frac{4(x-5)}{(x+1)^4} \)

Если втрую производную приравнять нулю, то получим x=5
То есть точка перегиба будет при x=5. Построим график:



Точка перегиба имеет координаты (5; 2/9)

Если правую ветвь графика изобразить в более общем виде, то будем видеть знакомую кривую:

[renuar911]

У первой функции у Вас тоже будут экстремумы (их 2) и точка перегиба:



Вам нужно будет также найти производные и приравнивать их нулю.
Но будет проще, поскольку имеет место не дробь, а полином.
Попробуйте сделать сами и Вы получите истинное удовольствие.

[Cheshire]

А я правильно определила точки максимума и минимума у первой функции??

[Завада]

А я правильно определила точки максимума и минимума у первой функции??

Нет.

[renuar911]

У первой функции локальный максимум : \( \bigg( -\frac{2}{3} ;- \frac{50}{27} \bigg ) \)

Локальный минимум : \( \bigg ( 0 ; -2\bigg ) \)

Точка перегиба:  \( \bigg( -\frac{1}{3} ;- \frac{52}{27} \bigg ) \)