снова примеры по комплексным числам.

[Szael]

нужно найти действительную и мнимую части функции f(z)
f(z)=Re(z^2+i)+iIm(z^2-i)

делаем замену z=x+iy
f(z) = Re(x+2iy)+iIm(x^2+2ixy+(iy)^2)

Re f(z)=x
Im f(z)= x^2+2ixy+(iy)^2

или не так?

[tig81]

f(z)=Re(z^2+i)+...
f(z) = Re(x+2iy)+...

Почему так получили?

[Szael]

мозг спит, глаза спят, квадрат пропустила, там конечно по другому будет

f(z)=Re(z^2+i)+iIm(z^2-i)

f(z)=Re(x^2+2ixy+(iy)^2+i)+iIm(x^2+2ixy+(iy)^2-i)

Re f(z)=x^2
Im f(z)= 2ixy+(iy)^2-i

[wital1984]

Нет.
 (iy)^2= -i^2  -  а это уже действительная часть.
Вообще, лучше привести к виду f(z)=Re(a+ib)+iIm(c+id) тогда ответ проще выбрать: Re(f(z))=a, Im(f(z))=d

[Szael]

бр... что-то я запутался.

\( f(z)=Re(z^2+i)+iIm(z^2-i) \)
\( z=x+iy \)
\( f(z)=Re((x+iy)^2+i)+iIm((x+iy)^2-i) \)
\( f(z)=Re(x^2+i2xy+y^2+i)+iIm(x^2-i2xy+y^2-i) \)

правильно ли это и что делать после?

[tig81]

1. Какое задание? Изобразить область?
2. Когда раскрывали квадрат, почему получилось +y^2?

[Szael]

1. Какое задание? Изобразить область?

нужно найти действительную и мнимую части функции f(z)

2. Когда раскрывали квадрат, почему получилось +y^2?

упустила i наверное, когда вбивала.

\( f(z)=Re(x^2+i2xy+iy^2+i)+iIm(x^2-i2xy+iy^2-i) \)

я так понимаю. надо из скобок после Re взять действительную часть, а из скобок после Im мнимую?

[tig81]

\( f(z)=Re(x^2+i2xy+iy^2+i)+iIm(x^2-i2xy+iy^2-i) \)

Почему у возвели в квадрат, а i чем хуже?!

я так понимаю. надо из скобок после Re взять действительную часть, а из скобок после Im мнимую?

Именно так

[Szael]

я так понимаю. надо из скобок после Re взять действительную часть, а из скобок после Im мнимую?

Именно так

то есть вот так получается?
\( f(z)=Re(x^2-y^2+i(2xy+1))+iIm(x^2-y^2-i(2xy+1)) \)

\( f(z)Re=x^2-y^2 \)
\( f(z)Im=2xy+1 \)

[tig81]

\( f(z)Re=x^2-y^2 \)
\( f(z)Im=2xy+1 \)

Только наоборот пишется: \( Ref(z),\,Imf(z) \) и мнимая часть со знаком минус.

[Szael]

мммм, спасибо. разобралась наконец-то. вот так?
\( Ref(z)=x^2-y^2 \)
\( Imf(z)=-2xy-1  \)

[tig81]

да

[Szael]

проверьте, правильно  ли?
Исследовать, в каких точках функция дифф-ма.

\( f(z)=|z|Rez  \)
\( z=x+iy  \)
\( |z|=\sqrt{x^2+y^2}  \)
\( Rez=x  \)
\( f(z)=\sqrt{x^2+y^2}*x  \)
\( u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}*x  \)
\( v(x,y)=0 \)

Условие Коши-Римана:
\( du/dx = dv/dy \)
\( du/dy = dv/dx  \)

du/dx = x^2/ (\sqrt{x^2+y^2})+ \sqrt{x^2+y^2}
dv/dy = 0

Одно из условий Коши-Римана не выполняется, значит функция не дифф-ма.

[tig81]

а в точке (0; 0)?

[Szael]

а в точке (0; 0)?

да, в точке (0,0) производные равны. и условие выполняется
0=0
0=-0
достаточно просто указать эту точку или нужно это доказывать\показывать и т.д?