Найти общее решение диффуры 2-го пор. Помогите, пожалуйста!

[ApelSink4]

Помогите, пожалуйста, решить задачу!
Найти общее решение дифференциального уравнения 2-го порядка.
1+(y')^2+y*y''=0

[tig81]

Что не получается?

[ApelSink4]

Запуталась  с решением.
Вначале делаем замену  y'=p(y) и y''=pdp/dy
Получается 1+p^2+y*pdp/dy=0.
1+p^2=-y*pdp/dy
(1+p^2)dy=-ypdp
dy/y=-(p/(1+p^2))dp
INTdy/y=-1/2INT(d(1+p^2)/(1+p^2))
ln|y|=-1/2ln|1+p^2|-lnC
-1/2ln|1+p^2|=ln|c*y|
c*y=1/((1+p^2)^(1/2)
И дальше я не знаю, как отсюда найти p, и вообще как дальше решать?

[tig81]

Начальные условия есть?
Возведите в квадрат левую и правую часть

[renuar911]

Я решал своим методом. Просматривая структуру ДУ, делаю вывод, что y  есть квадратный корень от полинома. Предполагаю, что это полином второй степени, то есть решение можно попробовать от

\( y=\sqrt{A+Bx+Dx^2} \)

Если взять призводные от этой функции и подставить в исходное ДУ, то все чудесным образом сокращается и остаётся  D+1=0

Следовательно:

\( y=\sqrt{C_1+C_2x-x^2} \)

Проверил для этого же выражения,но со знаком минус,  - тоже есть решение! Поэтому окончательно:

\( y=\pm \sqrt{C_1+C_2x-x^2} \)

Конечно, так решать Вам не следует, но к чему стремиться знаете.

[ApelSink4]

Нач.условий нет.
В квадрат возводила обе части, получается p=+-((1/(c^2*y^2))-1)^1/2.
Т. к. p=y'=dy/dx, то  dy/dx=+-((1/(c^2*y^2))-1)^1/2
Дальше это уравнение надо проинтегрировать, я так думаю, а как это сделать, незнаю. Я даже таких формул не знаю
dy/((1/(c^2*y^2))-1)^1/2=+-dx
Подскажите, как быть дальше.

[ApelSink4]

Спасибо за подсказку!

[tig81]

В квадрат возводила обе части, получается p=+-(1/(c^2*y^2)-1)^1/2.

1 только от знаменателя отнимается?

[ApelSink4]

Нет, от дроби в целом
исправила ошибку

[tig81]

приводите под корнем к общему знаменателю

П.С. Есть возможность прикреплять картинки? Или набирайте в ТеХе.

[ApelSink4]

\( \frac{dy}{\sqrt{\frac{1}{c^2\cdot y^2}-1}}=\pm dx \)
Вот что получается, и как это интегрировать?

[ApelSink4]

Спасибо за помощь! Завтра выложу картинки.

[tig81]

К общему знаменателю привели?

[ApelSink4]

Вот столько решено. Дальше - непонятно.

[tig81]

В интеграле, стоящем слева (по у) преобразуйте, чтобы не было трехэтажной дроби.