Найти матрицу Шура

[Daimon]

Здравствуйте, пожалуйста, помогите решить задание:
Для матрицы линейного преобразования, заданного в некотором ортонормированном базисе евклидова пространства, определить ортонормированный базис Шура, в котором матрица преобразования верхняя треугольная.

\( \begin{pmatrix}
1 & -4 & 0 &0 \\
1 & -3 & 0 &0 \\
1 &  1 & 1 &1 \\
-5 & 4 & -4 &-3
\end{pmatrix} \)

Я нашел матрицу сопряженного преобразования, здесь она является, просто транспонированной исходной матрицей:

\( \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & -5 \\
-4 & -3 & 1 & 4 \\
0 & 0 & 1 & -4 \\
0 & 0 & 1 & -3
\end{pmatrix} \)

Далее ищу собственные числа:

\( |{[\varphi ]}_{e}-\lambda E|=\begin{pmatrix}
1-\lambda  & -4 & 0 & 0 \\
1 & -3-\lambda  & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1-\lambda  & 1 \\
-5 & 4 & -4 & -3-\lambda
\end{pmatrix} \)

Получаю характеристическое уравнение:

\( {\lambda }^{4}+4{\lambda }^{3}+9{\lambda }^{2}+4\lambda +1=0 \)

вот здесь у меня возникли проблемы, не знаю как решить полученное уравнение, по всякому пытался. В интернете нашел "Метод Ферари", у нас в универе о нем преподаватели даже не упоминали, но решил попробовать, корни получились 0 и 1, но явно это неправильно.  Воспользовался онлайн сервисом, он выдал такие корни:
\( {\lambda }_{1} = -1.7541414352817672 +2.014384800667158i \)
\( {\lambda }_{2} = -1.7541414352817672 -2.014384800667158i \)
\( {\lambda }_{3} = -0.24585856471823286 +0.2823339930982816i \)
\( {\lambda }_{4}= -0.24585856471823286 -0.2823339930982816i \)

Я их округлил и записал в следующем виде (не знаю, правильно ли это):
\( {\lambda }_{1} = -\frac{7}{4}+2i \)
\( {\lambda }_{2} = -\frac{7}{4}-2i \)
\( {\lambda }_{3} = -\frac{1}{4}+\frac{7}{25}i \)
\( {\lambda }_{4} = -\frac{1}{4}-\frac{7}{25}i \)

При \( {\lambda }_{1} = -\frac{7}{4}+2i  \) получается матрица:
\( \begin{pmatrix}
-\frac{3}{4}+2i & 1 & 1 & -5\\
-4 & -\frac{15}{4}+2i & 1 & 4\\
0 & 0 & -\frac{3}{4}+2i & -4\\
0 & 0 & 1 & -\frac{15}{4}+2i
\end{pmatrix} \)
Затем я так понимаю, что нужно найти такой вектор f, чтобы выполнялось условие:
\( \begin{pmatrix}
-\frac{3}{4}+2i & 1 & 1 & -5\\
-4 & -\frac{15}{4}+2i & 1 & 4\\
0 & 0 & -\frac{3}{4}+2i & -4\\
0 & 0 & 1 & -\frac{15}{4}+2i
\end{pmatrix}*f=0 \)
но вот как его найти, не представляю, за этим у меня весь процесс встал, далее вроде понимаю что нужно делать, вот токо этот вектор f не получается найти, или мб выше где ошибка, проверял несколько раз, не нашел ошибок.

[Daimon]

что, никто не знает как тут быть?  не исключаю, мб напутал где чего-нито, но проверял не раз, вроде все норм.

[Hellko]

неправильно нашел собственные числа.
\( = (\lambda^2+2\lambda+1)^2 = 0 \)

[Daimon]

А почему так? ведь если возвести в квадрат, то получается   \( {\lambda }^{4}+4{\lambda }^{3}+6{\lambda }^{2}+4\lambda +1 \) , а у меня в полученном уравнении \( +9{\lambda }^{2}+ \)
А если действительно так, то далее все очень даже не плохо получается  , только вот эта 9-ка сомнения вызывает, я ее нашел так:

\( \begin{vmatrix}
1 & -4\\
1 & -3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 & 0\\
-5 & -3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
3 & 0\\
4 & -3
\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}
1 & 1\\
-4 & -3
\end{vmatrix}=1+1-3-9+1=-9 \)

[Daimon]

неправильно нашел собственные числа.
\( = (\lambda^2+2\lambda+1)^2 = 0 \)

большое спасибо, действительно, все встало на свои места с этим уравнением, но по ходу дела опять возникли сложности, походу у меня с этим проблемы  , помогите решить еще одно уравнение или подскажите, как его преобразовать
\( {\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}+2\lambda +3=0 \)

[Hellko]

неправильно нашел собственные числа.
\( = (\lambda^2+2\lambda+1)^2 = 0 \)

большое спасибо, действительно, все встало на свои места с этим уравнением, но по ходу дела опять возникли сложности, походу у меня с этим проблемы  , помогите решить еще одно уравнение или подскажите, как его преобразовать
\( {\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}+2\lambda +3=0 \)

У вас получилось предыдущее уравнение то?

с этим все плохо оно откуда получилось? сдесь 2 комплексных и 1 действительный корень, но они очень страшные.

[Daimon]

Да, предыдущее решил, только как получилось само уравнение не совсем понял, решил, что где-то сам ошибся. Корень получился такой \( \lambda =-1 \)

Затем я нахожу собственные вектора линейного преобразования \( {\varphi }^{*} \) :

\( \begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 & -5\\
-4 & -2 & 1 & 4\\
0 & 0 & 2 & -4\\
0 & 0 & 1 & -2
\end{pmatrix}*f=0 \)      \( f=\begin{pmatrix}
1\\
1\\
2\\
1
\end{pmatrix} \)      \( W=L\left(f \right) \)

\( {W}^{T}=\alpha \left(\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0\\
-3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0\\
0\\
-1\\
2
\end{pmatrix} \right)=\alpha \left({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3} \right) \)

после нахожу \( \varphi \left({f}_{1} \right), \varphi \left({f}_{2} \right), \varphi \left({f}_{3} \right) \)

\( \varphi \left({f}_{1} \right)=\begin{pmatrix}
1 & -4 & 0 & 0\\
1 & -3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
-5 & 4 & -4 & -3
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
2\\
1\\
0\\
-3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-2\\
-1\\
0\\
3
\end{pmatrix} \)

\( \varphi \left({f}_{2} \right)=\begin{pmatrix}
1 & -4 & 0 & 0\\
1 & -3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
-5 & 4 & -4 & -3
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
1\\
-1\\
0\\
0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
5\\
4\\
0\\
-9
\end{pmatrix} \)

\( \varphi \left({f}_{3} \right)=\begin{pmatrix}
1 & -4 & 0 & 0\\
1 & -3 & 0 & 0\\
1 & 1 & 1 & 1\\
-5 & 4 & -4 & -3
\end{pmatrix}*\begin{pmatrix}
0\\
0\\
-1\\
2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
-2
\end{pmatrix} \)

\( \varphi \left({f}_{1} \right)=-{f}_{1} \)
\( \varphi \left({f}_{2} \right)=-3{f}_{1}-{f}_{2} \)
\( \varphi \left({f}_{3} \right)=-{f}_{3} \)

Строю матрицу индуцированного преобразования \( \varphi  \) на \( {W}^{\perp } \) в базисе \( \left({f}_{1},{f}_{2},{f}_{3} \right) \)

\( {\left[{\varphi \mid }_{{W}^{\perp }} \right]}_{f}=\begin{pmatrix}
2 & 0 & -3\\
-1 & 0 & 0\\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix} \)

Строю матрицу сопряжения \( \varphi  \) индуцированную на \( {W}^{\perp } \)

\( {{\left[\varphi \mid {W}^{\perp } \right]}_{f}}^{*}=\begin{pmatrix}
2 & -1 & 0\\
0 & 0 & -1\\
-3 & 0 & 1
\end{pmatrix} \)

\( \left|{{\left[\varphi \mid {W}^{\perp } \right]}_{f}}^{*}-\lambda E \right|=0 \)

и получается такое характеристическое уравнение:

\( {\lambda }^{3}-3{\lambda }^{2}+2\lambda +3=0 \)

думаю мог ошибиться в построении матрицы индуцированного преобразования \( \varphi  \) на \( {W}^{\perp } \) , т.к. плохо представляю, что это такое.

[Hellko]

если честно я вообще не представляю что это так что могу посоветовать вам только почитать материал по этой теме.
В задании вообще предпологается красивый ответ? если да то скорее всего вы что то не так сделали.

[Daimon]

Понятно, спасибо за помощь, насчет индуцированного преобразования спрошу у преподавателя, в инете нашел только теорию по этому поводу, но ничего не понял )