найти первые три числа

[natali1811]

Помогите! Необходимо найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным условием (см. рисунок). Я знаю, что тут необходимо уравнение несколько раз продифференцировать. Но тут неявная функция и "y" в степени "е", потому не понимаю как дифференцировать(((

[tig81]

\( (e^{y(x)})'=e^y\cdot y' \)
А так в Рябушко есть и про дифференцирование неявных, и про разложение в степенной ряд решения ДУ

[natali1811]

так???

[Dimka1]

неа

[natali1811]

 ....+y+xyy`??? если опять неправильно, то я сдаюсь((((

[Dimka1]

....+y+xyy`??? если опять неправильно, то я сдаюсь((((

нет.

Там не должно быть производных

Откройте 3 том Рабушко, там куча примеров по решению таких задач

[natali1811]

Нашла в этом рябушко похожие примеры и там есть производные( либо я не там смотрю, либо уж не знаю тогда(

[natali1811]

так правильно у меня или нет? потому что по примерам, что я смотрю у меня вроде верно: ...+y+xy`??

[tig81]

Давайте поэтапно опишите свои действия, будем смотреть

[natali1811]

Необходимо найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным условием: y`=e<sup>y</sup>+xy, y(0)=0. Продифференцируем уравнение несколько раз подряд, рассматривая y как функцию от x: y``=e<sup>y</sup>+y+xy`,   y```=e^y(y`)<sup>2</sup>+y`+y`+xy``. Правильно или совсем нет???

[tig81]

Как выглядит искомый ряд в общем виде?

П.С. Вторую производную нашли неправильно

[natali1811]

y``=e^yy`+y+xy`??? так??? пропустила просто y`. Самого ряда в исходном виде нету. всё условие я выписала полностью

[tig81]

y``=e^yy`+y+xy`??? так??? пропустила просто y`.

Ну это "просто" в корне меняет решение

Самого ряда в исходном виде нету. всё условие я выписала полностью

Понятно, что его нет, но вы же в каком-то виде планируете записать. Так вот как вы это собираетесь сделать? Как выглядит ряд Тейлора для функции? Если х=0, то получаем ряд Маклорена. Как он будет выглядит?

[natali1811]

y`=e<sup>y(0)</sup>+xy(0)=e<sup>0</sup>+0*0=1
y``=e<sup>y(0)</sup>y`(0)+y(0)+xy`(0)=1*1+0+0*1=1
y```=e<sup>y(0)</sup>(y`(0))²+y`(0)+y`(0)+x*y``(0)=e<sup>0</sup>*1<sup>2</sup>+1+1+0*0=3
Ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f`(0)/1!*x+f``(0)/2!*x²+...
Получаем: y=(x-0)+(x-1)*x+(x-1)/2*x²+(x-3)/6*x³+... так?

[tig81]

Ряд Маклорена: f(x)=f(0)+f`(0)/1!*x+f``(0)/2!*x²+...

Так, хорошо. Разбиваем решение на подрешения.
1. Чему в вашем случае равно первое слагаемое в данном ряде?