Теория вероятности

[Avenue_hoche]

Здравствуйте! Очень прошу помощи в решении следующих задач:

Задание 1. Используя теорему Бернулли, решить следующие задачи, значения p, k, mвыбрать согласно варианту nпо списку журнала.
Вероятность нарушения точности в сборке приборов составляет p. Найти наиболее вероятное число точных приборов в партии из mприборов:
n=16             p=0,2           m=7+N

Задание 2. Вероятность изготовления бракованного генератора для автомобильного двигателя равна 3*10^4. Определить вероятность того, что в изготовлении партии из 516 генераторов окажется хотя бы один бракованный. Как с возрастанием числа генераторов в партии меняется искомая вероятность? Найти искомую вероятность двумя способами:
а) с использованием формулы Пуассона;
б) с использованием локальной теоремы Муавра-Лапласса.

Задание 3. Проверкой качества изготовленных на заводе часов установлено, что в среднем 98% их отвечают предъявленным требованиям, а 2% нуждаются в дополнительной регулировке. Приемщик проверяет качество 316 изготовленных часов. Если при этом среди них обнаружится 11 или более часов, нуждающихся в дополнительной регулировке, то вся партия возвращается заводу для доработки. Какова вероятность того, что партия будет принята? (Воспользоваться интегральной теоремой Лапласса).

Задание 4. Проверяют 916 деталей на стандартность. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти границы, в которых будет заключено число стандартных деталей, с q=0,9544.

Задание 5. Случайная величина X задана рядом распределения
Xi   -7*16/10   -16/5    1/2   3*16/5    7*16/10
Pi   1/2(1+1)   2/4(1+1)   Pо   1/8(1+1)    3/8(1+1)
Найти:
1)   Вероятность Ро;
2)   Математическое ожидание, дисперсию случайной величины Х;
3)   Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины (Х+16/4);
4)   Функцию распределения случайной величины Х F(x) и построить ее график;
5)   Значение F(16/2)

Задание 6. Контрольный просмотр сложного прибора обнаруживает в среднем на 51 приборов 11 дефектных. Составить закон распределения случайной величины Х – числа точных приборов из наудачу выбранных 5 приборов.
В условии задачи найти среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Заранее благодарю!

[tig81]

Что делали? Что не получается?

[Avenue_hoche]

Решение тех задач, которые у меня получились:
1. n=16   p=0,2   m=8   q=0,8
Воспользуемся формулами:
\( P_n(m)=C^m_n*p^m*q^(n-m) \)
\( C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!} \)
\( P_1_6(8)=C^8_1_6*(0,2)^8*(0,8)^8=(***) \)
\( C^8_1_6=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!*8!}=\frac{8!*9*10*11*12*13*14*15*16}{8!*1*2*3*4*5*6*7*8}=3*5*11*13*2*3=12870 \)
\( (0,2)^8=0,00000256 \)
\( (0,8)^8=0,16777216 \)
\( (***)=12870*0,00000256*0,16777216=0,00552762291=0,005 \)
Ответ: 0,005

[Avenue_hoche]

5. Ряд распределения^
\( x_i \)   -11,2   -3,2   8   9,6        11,2
\( p_i \)   0,25     0,25  p   0,0625  0,1875
а) \( p_0=1-0,25-0,25-0,0625-0,1875=0,25 \)
\( p_0=0,25 \)
б) \( M[x]=<math>\sum_{i=1}^\n\</math>x_i*p_i=(-11,2)*0,25+(-3,2)*0,25+8*0,25+9,6*0,0625+11,2*0,1875=-2,8-0,8+2+0,6+2,1=1,1 \)
\( M[x]=1,1 \)
Вычислим дисперсию по формуле:
\( D[x]=M[x^2]-M^2[x] \)
\( D[x]=(-11,2)^2*0,25+(-3,2)^2*0,25+8^2*0,25+9,6^2*0,0625+11,2^2*0,1875-1,1^2=125,44*0,25+10,24*0,25+64*0,25+92,16*0,0625+125,44*0,1875-1,21=31,36+2,56+16+5,76+23,52-1,21=77,99 \)
\( D[x]=77,99 \)
в) Найдем мат. ожидание от \( M[x+4] \)
\( M[x+4]=M[x]+M[4]=1,1+4=5,1 \)
Найдем дисперсию от \( D[x+4] \)
\( D[x+4]=D[x]+D[4]=77,99+0=77,99 \)
Найдем среднее квадратическое отклонение
\( \sigma=\sqrt{D[x+4]}=\sqrt{77,99}\approx8,83 \)
г) F(x)-?
F(x)=P(X<x)=
0                           \( x \le -11,2 \)
0,25                       \( -11,2 < x \le -3,2 \)
0,25+0,25=0,5          \( -3,2 < x \le 8 \)
0,5+0,25=0,75          \( 8 < x \le 9,6 \)
0,75+0,0624=0,8125  \( 9,6 < x \le 11,2 \)
0,8125+0,1875=1       \( x > 11,2 \)

Далее построила график.
А как вычислять F( 8 ) ?

[Avenue_hoche]

6. Имеется 51 деталь, 11 дефектных, следовательно 40 стандартных. Выбирают 5 приборов. Из этого сделала вывод, что стоит решать данную задачу следующим образом:
\( P(x=1) = \frac{C^1_{11}*C^4_{40}}{C^5_{51}}=\frac{11*91390}{2349060}=\frac{1005290}{2349060}=0,4279541603876\approx0,43 \)
\( C^1_{11}=\frac{11!}{1!10!}=11 \)
\( C^4_{40}=\frac{40!}{4!36!}=\frac{36!*37*38*39*40}{36!*1*2*3*4}=37*19*13*10=91390 \)
\( C^5_{51}=\frac{51!}{5!46!}=\frac{46!*47*48*49*50*51}{46!*1*2*3*4*5}=47*6*49*10*17=2349060 \) (***)
\( P(x=2) = \frac{C^2_{11}*C^3_{40}}{C^5_{51}}=\frac{55*9880}{2349060}=\frac{543400}{2349060}=0,2313265731825\approx0,23 \)
\( C^2_{11}=\frac{11!}{2!9!}=\frac{9!*10*11}{9!*1*2}=55 \)
\( C^3_{40}=\frac{40!}{3!37!}=\frac{37!*38*39*40}{37!*1*2*3}=38*13*20=9880 \)
(***)
\( P(x=3) = \frac{C^3_{11}*C^2_{40}}{C^5_{51}}=\frac{165*780}{2349060}=\frac{128700}{2349060}=0,0547878725958\approx0,06 \)
\( C^3_{11}=\frac{11!}{3!8!}=\frac{8!*9*10*11}{8!*1*2*3}=3*5*11=165 \)
\( C^2_{40}=\frac{40!}{2!38!}=\frac{38!*39*40}{38!*1*2}=39*20=780 \)
(***)
\( P(x=4) = \frac{C^4_{11}*C^1_{40}}{C^5_{51}}=\frac{330*40}{2349060}=\frac{13200}{2349060}=0,0056192689842\approx0,006 \)
\( C^4_{11}=\frac{11!}{4!7!}=\frac{7!*8*9*10*11}{7!*1*2*3*4}=2*3*5*11=330 \)
\( C^1_{40}=\frac{40!}{1!39!}=\frac{39!*40}{39!}=40 \)
(***)
\( P(x=5) = \frac{C^5_{11}*C^0_{40}}{C^5_{51}}=\frac{462}{2349060}=0,0001966744144\approx0,002 \)
\( C^5_{11}=\frac{11!}{5!6!}=\frac{6!*7*8*9*10*11}{6!*1*2*3*4*5}=7*2*3*11=462 \)
\( C^0_{40}=\frac{40!}{0!40!}=1 \)
(***)
\( x_i \)   1        2        3         4           5
\( p_i \) 0,43    0,23    0,06    0,006    0,0002
\( M[x]=1*0,43+2*0,23+3*0,06+4*0,006+5*0,0002=0,43+0,46+0,18+0,024+0,001=1,095 \)
\( D[x]=1*0,43+4*0,23+9*0,06+16*0,006+25*0,0002-(1,095)^2=0,43+0,92+0,54+0,096+0,000001-1,199025=0,786976 \)
\( \sigma[x]=\sqrt{0,786976}=0,88711668\approx0,88 \)
Ответ: 0,88

[Avenue_hoche]

Проверьте, пожалуйста, решенные задания, и подскажите как начать решать или по какой формуле задание 2,3,4,5(5)

[Avenue_hoche]

5 задание.
5 вопрос: F( 8 )-?
F( 9 )=0,25 или 1\4
Ответ: 1\4
Верно?

[Dev]

Решение тех задач, которые у меня получились:
1. n=16   p=0,2   m=8   q=0,8
Воспользуемся формулами:
\( P_n(m)=C^m_n*p^m*q^(n-m) \)
\( C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!} \)
\( P_1_6(8)=C^8_1_6*(0,2)^8*(0,8)^8=(***) \)
\( C^8_1_6=\frac{16!}{8!(16-8)!}=\frac{16!}{8!*8!}=\frac{8!*9*10*11*12*13*14*15*16}{8!*1*2*3*4*5*6*7*8}=3*5*11*13*2*3=12870 \)
\( (0,2)^8=0,00000256 \)
\( (0,8)^8=0,16777216 \)
\( (***)=12870*0,00000256*0,16777216=0,00552762291=0,005 \)
Ответ: 0,005

Совершенно непонятно, что Вы искали. Найти требовалось наиболее вероятное число чего-то там. Это целое число. В условии задачи никакого \( n \) нет. Приведите точное условие.

Вообще, откровенно говоря, проверять такой поток задач, да ещё и в одной теме, - занятие бессмысленное. Преподаватель Ваш их проверять должен. Здесь же можно задать вопросы по некоторым задачам, где есть проблемы. Желательно новую задачу - в отдельной теме, а то скоро без поллитры не разобраться будет.

[Dev]

5. ...
А как вычислять F( 8 ) ?

Подставить вместо \( x \) восьмёрку и указать, каким будет значение функции.

[Dev]

6. Имеется 51 деталь, 11 дефектных, следовательно 40 стандартных. Выбирают 5 приборов.

Нет. Имеется не 51 деталь. Имеется много деталей. Обратите внимание на слово "в среднем" в условии. Оно означает что-то про вероятность обнаружения бракованной детали.

[Dev]

5 задание.
5 вопрос: F( 8 )-?
F( 9 )=0,25 или 1\4
Ответ: 1\4
Верно?

Нет, не верно. Посмотрите на свою функцию и скажите, при каких \( x \) она равна \( 0,25 \).

[Dev]

и подскажите как начать решать или по какой формуле задание 2,3,4,5(5)

В заданиях 2 и 3 прямо в тексте написано, по каким формулам их решать.