Дифференциальные уравнения.

[xxx_stasya_xxx]

Найти общее решение дифференциального уравнения:

1:
\( (x^2-y^2)y' = 2xy \)
\( \frac {dx}{dy}=y'=\frac{2xy}{x^2-y^2}=\frac{2\frac{y}{x}}{1-\frac{y^2}{x^2}}; \frac{x}{y}=t \)
\( \frac {dx}{dy}=\frac{2t}{1-t^2}; y=tx; y'=t'x+x't=t'x+t \)
\( t'x+t=\frac{2t}{1-t^2}; t'x=\frac{2t}{1-t^2}-t = \frac{2t-t+t^3}{1-t^2}=\frac{t+t^3}{1-t^2} \)
\( \frac {dt}{dy} * x = \frac{t(1+t^2)}{1-t^2} \), разделяем переменные и ищем интегралы:
\( \int\frac{1-t^2}{t(1+t^2)}dt =\int x dx \)
\( \int\frac{1-t^2}{t(1+t^2)}dt = \log t - \log(t^2+1) +C_1 \)
\(  \int x dx = \frac{x^2}{2}+C_2 \)
\( \logt-\log(t^2+1)+C_1=\frac{x^2}{2}+C_2; \log\frac{y}{x}-\log(\frac{y^2}{x^2}+1)=\frac{x^2}{2}+C \)

2:
\( (1-x^2)y''=xy'; y'=P(x); y"=P'(x); (1-x^2)P'(x)=xP(x) \)
\( (1-x^2)\frac{dP}{dx} = xP(x) \), разделяем переменные и ищем интегралы:
\( \int \frac{dP}{P(x)} = \int \frac{x}{1-x^2}dx \)
\( \int \frac{dP}{P(x)}= \log P(x) + C_1 \)
\( \int \frac{x}{1-x^2}dx = -\frac{1}{2}\log(1-x^2) + C_2 \)
\( \log P(x) + C_1= -\frac{1}{2}\log(1-x^2) + C_2; \log y' = -\frac{1}{2}\log(1-x^2) + C \)

Правильно?

[tig81]

\( \frac {dx}{dy}=y' \)

Почему так?
Далее ход как бы правильный, но при такой записи все нелогично выглядит. + в конце логарифмы по какому основанию?
2.Логарифмы натуральные?
Справа напишите не С, а lnС и далее по свойствам логарифмов сверните правую часть

П.С. А зачем вы в формуле значки двойных долларов ставите?

[xxx_stasya_xxx]

\( \frac {dx}{dy}=y' \)

Почему так?
Далее ход как бы правильный, но при такой записи все нелогично выглядит. + в конце логарифмы по какому основанию?

"В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: \( y' = \frac {dx}{dy} \). Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первой этапе переписываем производную в нужном нам виде."

2.Логарифмы натуральные?

да натуральные

1). \( \ln(\frac{y}{x})-\ln(\frac{y^2}{x^2}+1)=\frac{x^2}{2}+C \)

2). \( \ln y' = -\frac{1}{2}\ln(1-x^2) + \ln(C) = -\frac{1}{2}\ln(C-C*x^2) \)

[xxx_stasya_xxx]

никто больше не глянет? не исправит?

[renuar911]

Во втором ДУ  я получил так:

\( y=C_1 ln(\sqrt{x^2-1}+x)+C_2 \)

Подстановкой в уравнение убедился, что результат верный.

[xxx_stasya_xxx]

а в первом? 

[renuar911]

Первый совсем простенький:

\( y=c \pm \sqrt{c^2-x^2} \)