Предел.

[xxx_stasya_xxx]

Решить предел: \( \lim_{n\to\infty} \frac{2^n((n+1)^2+1)}{(n^2+1)*2^n+1} \)

что я сделала:
\( (n+1)^2 = n^2+2n+1 \)
\( 2^n=\infty \), следовательно \( 2^n((n+1)^2 \) и \( (n^2+1)*2^n \) стремятся к \( \infty \); получается, что предел равен \( \frac{\infty}{\infty} \)

Вопрос: как решить такой предел?

[tig81]

Извините, не удержалась
1. прЕдел
2. Найти, а не решить

Какой ряд на сходимость исследуете?

[xxx_stasya_xxx]

Извините, не удержалась
1. прЕдел

  разговаривала с родственника из Украины, все буквы вперемешку заметила, но не успела исправить...
 

Какой ряд на сходимость исследуете?

ну задание такое:
найти область сходимости степенного ряда:

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^2+1} * x^n \)

Для этого нахожу прЕдел \( \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_n _+ _1} = R \)
потом: интервал (-R;R) исследуется на сходимость

[tig81]

Для этого нахожу прЕдел \( \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_n _+ _1} = R \)

Когда писали, такое впечатление, что потеряли скобки
ПОэтому еще раз запишите отношение

потом: интервал (-R;R) исследуется на сходимость

Понятие сходимости для интервала нет. Потом ряд исследуется на сходимость в концах полученного интервала

[xxx_stasya_xxx]

потом: интервал (-R;R) исследуется на сходимость

Понятие сходимости для интервала нет. Потом ряд исследуется на сходимость в концах полученного интервала

ну это я и имела в виду  

\( \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_n _+ _1|} = R \)

[tig81]

\( \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_n _+ _1|} = R \)

а дальше? Речь шла про скобки, а не модуль, хотя вы его и не написали, но  н ход решения это не повлияло.

Уже когда подставляли конкретное выражение....

[xxx_stasya_xxx]

 \( \lim_{n\to\infty} \frac{2^n((n+1)^2+1)}{(n^2+1)*2^{n+1}} \)

вот...

[tig81]

сокращайте 2 в степени, что вы можете сказать про отношение многочленов, чему равен их предел на бесконечности?
Умножение в ТеХе

Код: [Выделить]

\cdot
\( \cdot \)

[xxx_stasya_xxx]

 \( \lim_{n\to\infty} \frac{2^n((n+1)^2+1)}{(n^2+1)*2^{n+1}} = \frac{|1|}{|2|} \)

(-1/2;1/2)

[tig81]

\( \lim_{n\to\infty} \frac{2^n((n+1)^2+1)}{(n^2+1)*2^{n+1}} = \frac{|1|}{|2|} \)

1/2 можно без модуля

(-1/2;1/2)

да

[xxx_stasya_xxx]

дальше:

x=1/2

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} * (\frac{1}{2})^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{n^2+1} \)

\( a_n = \frac{2^{n-1}}{n^2+1} \) \( a_{n+1} = \frac{2^n}{(n+1)^2+1} \)

находим предел:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{2^n(n^2+1)}{2^{n-1}((n+1)^2+1)} = 2 > 1 \) - ряд расходиться

то же самое с -1\2:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} * (-(\frac{1}{2})^n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-2^{n-1}}{n^2+1} \)

\( a_n = \frac{-2^{n-1}}{n^2+1} \) \( a_{n+1} = \frac{-2^n}{(n+1)^2+1} \)

\( \lim_{n\to\infty} \frac{-2^n(n^2+1)}{-2^{n-1}((n+1)^2+1)} = 2 > 1 \)

[tig81]

x=1/2
\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} * (\frac{1}{2})^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{n^2+1} \)

А почему так получается?

то же самое с -1\2:

\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2+1} * (-(\frac{1}{2})^n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{-2^{n-1}}{n^2+1} \)

Нет, правильно запишите получаемый ряд.

[xxx_stasya_xxx]

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}  \)
\( a_n = \frac{1}{n^2+1}  \)
\( a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2+1} \)

\( \lim_{n\to\infty} \frac {n^2+1}{(n+1)^2+1}=1 \)

[xxx_stasya_xxx]

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{n^2+1}*(-\frac{1}{2}) = \sum_{n=1}^\infty \frac{-1}{n^2+1} \)

Используя принцип Лейбница:

\( \frac{2}{2} * \frac{-1}{2} + \frac{4}{5} * \frac{1}{4} + \frac{8}{10} * \frac{-1}{8} +... \)

\( \frac{-2}{4}  + \frac{4}{20}- \frac{8}{80}+ ... \)

\( \frac{-1}{2}  + \frac{1}{4}- \frac{1}{10}+ ... \)

\( |\frac{1}{2}|  > |\frac{1}{4}| > |\frac{1}{10}| > ... \)

\( lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n^2+1} = 0 \) ряд сходиться

[Dimka1]

\( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2+1}  \)
\( a_n = \frac{1}{n^2+1}  \)
\( a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)^2+1} \)

\( lim_{n\to\infty} \frac {n^2+1}{(n+1)^2+1}=1 \)

Здесь нужно по признаку сравнения или интегральному признаку (сходится)