Исследовать сходимость числового ряда

[xxx_stasya_xxx]

Исследовать сходимость числового ряда:

\( &\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n^3-2}& \)

Вот что у меня вышло:

По теореме: если числовой ряд сходиться, то есть \( lim_{n\to\infty} = 0 \)

\( lim_{n\to\infty} \frac{n+3}{n^3-2} = \frac {\infty}{\infty} = \frac{\frac{n+3}{n^3}}{\frac{n^3-2}{n^3}} = \frac {0}{1} = 0 \)

следовательно числовой ряд \( &\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n^3-2}& \) сходиться.

правильно?

[tig81]

немного не дописали. НЕт, неправильно.
Это вы проверяете необходимое условие сходимости. Если оно не выполняется, то сразу делаем вывод, что ряд расходится; если оно выполняется - то ряд может как сходится, так и расходиться.

[xxx_stasya_xxx]

Т.е. надо использовать признак Коши или Д'Аламбера?

[tig81]

Да, или признак сравнения еще

[xxx_stasya_xxx]

для признака сравнения можно взять ряд 1\n^3 ?

[tig81]

для признака сравнения можно взять ряд 1\n^3 ?

Можно, от чего бы не взять, но лучше возьмите 1\n^2 и посмотрите на признак сравнения в предельной форме

[xxx_stasya_xxx]

с рядом 1\n^3 у меня вышло:

\( f(x)=\frac{1}{n^3} \)
\( \int\limits_1^\infty \frac{1}{n^3}dx=\lim_{B\to\infty}\int\limits_1^B \frac{1}{n^3}dx=-\lim_{B\to\infty} (\frac{1}{2B^2}-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \) - ряд сходиться по интегральному признаку Коши, следовательно ряд

\( &\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n^3-2}& \) тоже сходиться.

Так?

[tig81]

с рядом 1\n^3 у меня вышло:

\( f(x)=\frac{1}{n^3} \)

\(  $$
          \int\limits_1^\infty \frac{1}{n^3}dx
       $$ \)
                                   
\( = \lim_{B\to\infty}  \)

\(  $$
          \int\limits_1^B \frac{1}{n^3}dx
       $$ \)

\( = -\lim_{B\to\infty} (\frac{1}{2B^2}-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \) - ряд сходиться по интегральному признаку Коши, 

Так много можно было и не писать, т.к. данный ряд сходится как обобщенный гармонический со степенью 3>1.

следовательно ряд\( &\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n^3-2}& \) тоже сходиться.

следовательно из чего?

[xxx_stasya_xxx]

следовательно ряд\( &\sum_{n=1}^\infty \frac{n+3}{n^3-2}& \) тоже сходиться.

следовательно из чего?

забыла листочек:

Теорема: существует \( \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k\ne0\ne\infty \), тогда оба ряда ведут себя одинаково.

\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^3}{n^3-2} = 1 \)

[tig81]

забыла листочек:
Теорема: существует \( \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k\ne0\ne\infty \), тогда оба ряда ведут себя одинаково.

да

\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^3}{n^3-2} = 1 \)

Нет, в данном случае предел 1 не равен.

[xxx_stasya_xxx]

\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^3}{n^3-2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^4+3n^3}{n^3-2}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^4}{n^4}+\frac{3n^3}{n^4}}{\frac{n^3}{n^4}-\frac{2}{n^4}}=\frac{1+0}{0-0}=\frac{1}{0} \)   ой \( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^3}{n^3-2} = \infty \)

так?

тогда взять 1\n^2:

\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^2}{n^3-2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3+3n^2}{n^3-2}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}-\frac{2}{n^3}}=\frac{1+0}{1-0}=1 \)

и принять во внимание, что данный ряд сходится, как обобщенный гармонический со степенью 2>1, не применяя признак Коши.

 

[tig81]

тогда взять 1\n^2:
\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^2}{n^3-2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3+3n^2}{n^3-2}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}-\frac{2}{n^3}}=\frac{1+0}{1-0}=1 \)

И вывод какой?

и принять во внимание, что данный ряд сходится, как обобщенный гармонический со степенью 2>1

да

[xxx_stasya_xxx]

тогда взять 1\n^2:
\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^2}{n^3-2} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^3+3n^2}{n^3-2}=\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n^3}{n^3}+\frac{3n^2}{n^3}}{\frac{n^3}{n^3}-\frac{2}{n^3}}=\frac{1+0}{1-0}=1 \)

И вывод какой?

\( \lim_{n\to\infty} \frac{(n+3)*n^2}{n^3-2} = 1\ne0\ne\infty \) - оба ряда ведут себя одинаково.

[tig81]

да

[xxx_stasya_xxx]

  ура!!!

Благодарю =)