Дифференциальные уравнения, найти частное решение

[xxx_stasya_xxx]

Помогите, пожалуйста

Найти частное решение дифференциальное уравнение, удовлетворяющее данным начальным условиям:

y``+4y`- 12y=8sin(2x)

y(0)=0
y`(0)=0

[renuar911]

Дам общее решение, а частное сами находите:

\( y={{\rm e}^{-6\,x}}{\it C_1}+{{\rm e}^{2\,x}}{\it C_2}-0.2\,\cos \left( 2
\,x \right) -0.4\,\sin \left( 2\,x \right)
 \)

[xxx_stasya_xxx]

Спасибо.

Общее решение найдено

А как найти -0,2cos(2x)-0,4sin(2x) ?

[tig81]

по виду правой части

[xxx_stasya_xxx]

  так что с этой правой частью надо сделать, чтобы прийти к -0,2cos(2x)-0,4sin(2x)?

[tig81]

проанализировать.
Что стоит в правой части?
ссылка
ссылка
ссылка

[xxx_stasya_xxx]

Проверьте, пожалуйста.

\( y=(A*cos2x+B*sin2x)*e^x \)

\( y^\prime=(-2*A*sin2x+2*B*cos2x)*e^x \)

\( y^\prime^\prime=(-4*A*cos2x-4*B*sin2x)*e^x \)

\( -12*(A*cos2x+B*sin2x)*e^x+4*(-2*A*sin2x+2*B*cos2x)*e^x+(-4*A*cos2x-4*B*sin2x)*e^x=8*sin2x \)

\( e^x *(cos2x(-12*A+8*B-4*A)+sin2x(12*B-8*A-4*B))=e^x*(cos2x(-16*A+8B)+sin2x(8*B-8*A) = 8*sin2x \)

\( -16*A+8*B=0 ; 8*B-8*A=8 ; A=-1 ; B=-2 \)

\( y=(-cos2x-2*sin2x)*e^x \)

Вопросики: откуда взялось 1\5 и куда делось \( e^x \) в -0,2cos(2x)-0,4sin(2x)?

Заранее спасибо

[tig81]

Вопросики: откуда взялось 1\5 и куда делось \( e^x \) в -0,2cos(2x)-0,4sin(2x)? :-[Заранее спасибо

А ну еще раз вопросы поконкретнее, не совсем поняа

[xxx_stasya_xxx]

Дам общее решение, а частное сами находите:

\( y={{\rm e}^{-6\,x}}{\it C_1}+{{\rm e}^{2\,x}}{\it C_2}-0.2\,\cos \left( 2
\,x \right) -0.4\,\sin \left( 2\,x \right)
 \)

\( y=(-cos2x-2*sin2x)*e^x \)

Вопросики: откуда взялось 1\5 и куда делось \( e^x \) в -0,2cos(2x)-0,4sin(2x)? :-[Заранее спасибо

А ну еще раз вопросы поконкретнее, не совсем поняа

Если поточнее, то правильно ли я решила

[tig81]

Объясните подробнее, как находили частное решение, почему именно в таком виде?

[xxx_stasya_xxx]

Объясните подробнее, как находили частное решение, почему именно в таком виде?

по ссылка

1. первая производная
2. вторая производная
3. подставление в дифференциальное уравнение
4. нахождения А и В

вроде все так...

[tig81]

Но у вас же в правой части исходного равенства нет экспоненты+двойка является корнем характеристического уравнения. ПОэтому: е в степени не надо+умножить на х в степени, равной кратности корня

[xxx_stasya_xxx]

т.е.:

\( y=\frac{ A*cos(2x)+B*sin(2x)}{x^3}  \)

и от сюда брать производные и пересчитывать?

[tig81]

а почему делите на х в кубе, вроде ж говорила про умножение, а также х=2 - простой корень или корень кратности 1 для характеристического уравнения. Т.е. сумму синуса и косинуса надо умножить на х, и потом брать производную

[xxx_stasya_xxx]

спасибо большущее