УМФ (квазилинейное уравнение), нужно найти с1,с2 и f(c1,c2)

[Оля_Ли]

Помогите пожалуйста,как я поняла нужно найти с1,с2 и f(c1,c2):
\(  x \cdot\frac{\partial z}{\partial x}+y\cdot\frac{\partial z}{\partial y}=z-x\cdot y;
 
 x=2,z=y^2+1  \)
вот что получилось:
\( \frac{dx}{x}=\frac{dy}{y}=\frac{dz}{z-x\cdot y} \)
1)\( \int\frac{dx}{x}=\int\frac{dy}{y} \)
\( x=y\cdot c_{1} \)
\( c_{1}=\frac{x}{y} \)
2)\( \frac{dy}{y}=\frac{dz}{z-x\cdot y} \)
а дальше как быть?
заменяем из предыдущего х?

[Alexdemath]

Ну и решай уравнение 2) относительно функции z(y)

\( \begin{gathered}\frac{{dy}}{y} = \frac{{dz}}{{z - xy}} \quad \Rightarrow\quad z' = \frac{{z - xy}}{y}\quad \Rightarrow \quad\frac{{yz' - z}}{{{y^2}}} =  - \frac{x}{y}\quad \Rightarrow  \hfill \\\Rightarrow \quad{\left( {\frac{z}{y}} \right)^\prime } =  - \frac{x}{y}\quad \Rightarrow\quad \frac{z}{y} = {C_2} - x\ln |y| \quad\Rightarrow\quad {C_2} = \frac{z}{y} + x\ln |y| \hfill \end{gathered} \)

Общий интеграл \( \Phi\!\left(\frac{x}{y},\,\frac{z}{y}+ x\ln|y|\right)=0 \).

[Оля_Ли]

Ну и решай уравнение 2) относительно функции z(y)

\( \begin{gathered}\\\Rightarrow \quad{\left( {\frac{z}{y}} \right)^\prime } =  - \frac{x}{y}\quad \Rightarrow\quad  \end{gathered} \)

То что слева: производная от частного?тока вот почему до этого У в квадрате?разве не просто у?

[Alexdemath]

Поделите обе части уравнения на y.