Как преобразовать интеграл к табличному виду?

[Muhka]

преобразовать интеграл (рисунок 1) к интегралу (рисунок 2)


подскажите,пожалуйста как это сделать?

[renuar911]

Если речь идет об изменении первого подинтегрального выражения с целью получить второе, то c числителем делаем такой фокус:

\( sin(\frac{x}{a})cos(bx) \, \to \quad \bigg ( sin(\frac{x}{a}) \cdot sin(\frac{x}{a}) \bigg ) \cdot \bigg ( cos(bx) \cdot 2 cos(bx) -1 \bigg ) \)

[Muhka]

Если речь идет об изменении первого подинтегрального выражения с целью получить второе, то c числителем делаем такой фокус:

\( sin(\frac{x}{a})cos(bx) \, \to \quad \bigg ( sin(\frac{x}{a}) \cdot sin(\frac{x}{a}) \bigg ) \cdot \bigg ( cos(bx) \cdot 2 cos(bx) -1 \bigg ) \)

А если его без преобразований решить просто,то что тогда нужно?)там же выносится sin или cos?

[renuar911]

Не надо ничего усложнять. Ваш первый интеграл выражается через интегральный косинус (о нем см. в http://ru.wikipedia.org/wiki/Файл:Cosine_integral_ru.svg )

\( \frac{1}{2}\, \left( b+\frac{1}{a} \right) {\it Ci} \left [ x \left( b+\frac{1}{a}}
 \right)  \right ] -\frac{1}{2}\, \left( b-\frac{1}{a} \right) {\it Ci} \left [ x
 \left( b-\frac{1}{a} \right )  \right ] -\frac{1}{x}\sin \left( {\frac {x}{a}}
 \right) \cos \left( xb \right)\bigg |^{\infty}_{0}  \)
 
Но тут загвоздка с пределами интегрирования: при x=0 третье слагаемое имеет деление на ноль. При бесконечном x тоже возникают проблемы с вычислением Ci
Так что в данном интеграле есть над чем задуматься.



Привожу графики подинтегральной функции (красная линия) и интеграла. Если с правой частью интеграла более-менее понятно (при x ->  к бесконечности верхний предел интегрирования дает 0), то при x=0 имеем минус бесконечность. Отсюда - неопределенность определенного интеграла (таков уж каламбур). Если бы пределы интегрирования были например от 0.3 до 100, то подобных вопросов не возникало бы (интеграл оказался бы равным -0.1349351206).
(Здесь я принял a=2 ; b=3)

[Hellko]

Если речь идет об изменении первого подинтегрального выражения с целью получить второе, то c числителем делаем такой фокус:

\( sin(\frac{x}{a})cos(bx) \, \to \quad \bigg ( sin(\frac{x}{a}) \cdot sin(\frac{x}{a}) \bigg ) \cdot \bigg ( cos(bx) \cdot 2 cos(bx) -1 \bigg ) \)

А если его без преобразований решить просто,то что тогда нужно?)там же выносится sin или cos?

в элементарных функция не выразить, только через интегральный синус. если вас устроит то renuar911 написал.
попробовал в программе взять определенный интеграл. выдает ответ: \( 1/a+\sin(\infty) \)



to renuar911
моя прога построила интеграл так:
синим интеграл, красным функция на первом рисунке. на втором наоборот.





что то у меня сомнения в правильности построения моей программой.

[renuar911]

Hellko !

Вычислите определенный интеграл в пределах от 0.3 до 100  при a=2  и  b=3. Тогда сопоставим.

[Hellko]

Hellko !

Вычислите определенный интеграл в пределах от 0.3 до 100  при a=2  и  b=3. Тогда сопоставим.

скорее всего у вас правильно. вольфрам альфа строит аналогично вашему.

У меня у программы неожиданный результат:



wolframalpha говорит что последний ответ у нее такой же.

[renuar911]

Все совпало! Так что все у Вас верно. И у меня, слава Богу ! 

[Hellko]

Все совпало! Так что все у Вас верно. И у меня, слава Богу ! 

видимо программе плохо от того что приходится строить графики который записаны как интеграл.

интересно почему оно округлило неверно в первом случае?

[renuar911]

Трудно сказать. Я знаю только Maple и, надо сказать, в нем тоже встречались подобные казусы. У этой системы есть даже специальный сайт в инете, куда следует писать разработчикам о  замеченных огрехах.