Прямое или не прямое доказательство

[Die Liebe]

Такие условия:

надо доказать прямым или обратным образом, что

для всех натуральных чисел n существует такое число (n+1)*(n+2),  которое делится на 5 или на 6.

Я знаю, что число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3) и число делится на 5 тогда, когда последняя цифра 5 или 0 (из википедии ).

Я предпочла прямое доказательство :

\( (\frac{{n + 1}}{6}) + (\frac{{n + 2}}{6}) = \frac{{2n + 3}}{6} = \frac{n}{3} + \frac{1}{2} \)

и вот что с этим дальше делать не знаю

Есть идеи ?

[tig81]

для всех натуральных чисел n существует такое число (n+1)*(n+2),

Ну что это произведение делится на 2, доказать не сложно, это произведение двух последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно четное.

Как это доказать прямым или обратным образом мне не совсем понятно, что это надо?!

А так можно еще и метод матиндукции применить.

[Die Liebe]

Спасибо за ответ

ну тоесть прямым - мы устанавливаем, что высказывание , которое надо доказать - true,

обратным - false и собственно доказываем, что оно не верно (т.е от "противного")

А матиндукцией как ?

[wital1984]

Долго не мог доказать это

для всех натуральных чисел n существует такое число (n+1)*(n+2),  которое делится на 5 или на 6.

... пока не понял, что утверждение это не верно. 7*8=56 - не делится ни на 5 ни на 6

[Die Liebe]

хм, интересно...

и ведь вправду ...

тогда как доказать, что утверждение не верно, не подставляя числа, а вывести это логически исходя из определения натуральных чисел и чего нибудь там еще?

P.S. задание это из раздела мат. логики, поэтому собственно его и надо логически решить

[wital1984]

Вообще, для доказательства неверности достаточно привести 1 контрпример, это вполне соответствует любой логике и математической в том числе.
А вообще можно попроовать так:
Известны три утверждения:
а) Одно и только одно из 2-х последовательных чисел n+1, n+2 обязательно делится на 2.
б) Одно только одно из 3-х последовательных чисел n, n+1, n+2 обязательно делится на 3.
в) Одно только одно из 5-ти последовательных чисел n, n+1, n+2, n+3, n+4 обязательно делится на 5.
Рассмотрим утверждение б), имеем 3 варианта:
1) n делится на 3
2) n+1 делится на 3
3) n+2 делится на 3
В случаях 2 и 3 наше выражение ((n+1)*(n+2)) будет делится на 3  и на 2 (см. а), а значит, и на 6.
Остается рассмотреть вариант 1: n делится на 3.  Пусть наше n делится на 5. Тогда из (б) получим, что (n+1)*(n+2) не делится на 6, а из (в) имеем (n+1)*(n+2) не елится на 5. Т. е. мы доказали, что есть такие натуральные n,  при которых ваше утверждение "для всех натуральных чисел n существует такое число (n+1)*(n+2),  которое делится на 5 или на 6." не верно. А значит и доказали неверность утверждения.