Помогите найти сумму корней уравнения

[Kreator]

Нужно найти увеличенную в 5 раз сумму корней уравнения:

\( \sqrt{9+2x\sqrt{9-x^2}}=9-2x \)

Пробовал возводить обе части в квадрат, а так же ещё пару мелочей, но в результате все равно тупик.

[tig81]

ОДЗ нашли?

А покажите, что пробовали.

[Kreator]

ОДЗ нашли?

А покажите, что пробовали.

ОДЗ найти без проблем, а вот насчёт того что пробовал-это скорее были не очень удачные предположения: рассматривал вариант замены, внесения 2x под знак корня и ещё пытался каким-то образом \( 2x\sqrt{9-x^2} \) в виде 2ab + b², чтобы избаыится от основного корня формулой \( a^2+2ab+b^2 \)

[tig81]

ОДЗ найти без проблем,

почему спрашиваю. Когда-то вот так тоже что-то решала, не помню, что точно, всю голову сломала. Ну решила, почему-то найти ОДЗ, а там пустое множество

а вот насчёт того что пробовал-это скорее были не очень удачные предположения: рассматривал вариант замены, внесения 2x под знак корня и ещё пытался каким-то образом \( 2x\sqrt{9-x^2} \) в виде 2ab + b², чтобы избаыится от основного корня формулой \( a^2+2ab+b^2 \)

А вот когда в квадрат возводили левую и правую часть, что там получалось?

[Kreator]

А вот когда в квадрат возводили левую и правую часть, что там получалось?

Основной корень исчезал, правая часть раскладывалась, но вот оставался ещё корень \( \sqrt{9-x^2}  \). Кстати помнится как-то мне объясняли метод, и он вот был основан именно на последнем из того что я пробовал, то есть на представлении \( 2x\sqrt{9-x^2}  \) в виде \( 2ab-b^2 \), только как эту идею реализовать-ума не приложу.

[tig81]

А вот когда в квадрат возводили левую и правую часть, что там получалось?

Основной корень исчезал, правая часть раскладывалась, но вот оставался ещё корень \( \sqrt{9-x^2}  \).

А если еще раз в квадрат?

Кстати помнится как-то мне объясняли метод, и он вот был основан именно на последнем из того что я пробовал, то есть на представлении \( 2x\sqrt{9-x^2}  \) в виде \( 2ab-b^2 \), только как эту идею реализовать-ума не приложу.

Честно говоря, не совсем поняла, о чем идет речь.

[Kreator]

Поправка \( 2x\sqrt{9-x^2} \) как \( 2ab+b^2 \), а 9, как\( a^2 \) чтобы выражение \( 9+2x\sqrt{9-x^2} \) свернуть в формулу \( a^2+2ab+b^2 \). Таким образом как-то должно выйти \( \sqrt{(3+b)^2} \) и мы избавляемся от корня

[Kreator]

А если еще раз в квадрат?

Думаю это не самый рациональный ход.

[renuar911]

  Нужно привести к виду:

\( (x^2+72)*(5x^2-36x+72)=0 \)

\( x_{1,2}=\pm \sqrt{72}\, i  \)

\( x_{3,4}=\frac{6}{5}(3\pm i) \)

После подстановки в исходник, выясняем, что корнями являются только \( x_{3,4} \)

[tig81]

Думаю это не самый рациональный ход.

Возможно, но за неимением пока иных,...

[Kreator]

Что-то мне подсказывает, что в условии присутствует ошибка, т.к. комплексные числа у нас до высших учебных заведений не учат. Или ещё вариант, что товарищ  renuar911 допустил небольшую ошибку в преобразованиях

[Завада]

товарищ  renuar911 допустил небольшую ошибку в преобразованиях

Да, у исходного уравнения очевиден один из корней: 3.

[Kreator]

Обычным подбором видно что есть три, а это уже из множества действительных

[renuar911]

Да, конечно. Я ошибся и решал для правой части 9-x

Если не ошибаться, то  все сводится к квадратному уравнению  \( 5x^2-27 x +36=0 \)

и корни:   \( x_1=3 \, ; \quad x_2=2.4 \)

[Kreator]

Если не трудно, можете описать буквально пару действий вот с этого момента
\( 2x\sqrt{9-x^2}=4x^2-36x+72 \)