Помогите решить задачу

[Noob]

1) x^4-x^3-10x^2+2x+4=0

2) (x^3+x+1)(X^2+x+3)-15=0

3) (x^2-x+3)-3(x^2-x+3)(2x^2-x+2)+2(2x^2-x+2)^2=0

[tig81]

Что делали? Что не получается?

[Noob]

Пытались привести к биквадратному разными способами, или раскрыть скобки. Ничего путного не вышло.

[tig81]

Пытались привести к биквадратному разными способами, или раскрыть скобки. Ничего путного не вышло.

Для первого, ищите корни среди делителей свободного коэффициента.

[Noob]

А что за свободный коэффициент такой? И как это привести к нормальному виду, чтобы можно было указать решение задачи? Корни то можно и подобрать просто

[tig81]

А что за свободный коэффициент такой?

Коэффициент, при котором нет х.

И как это привести к нормальному виду, чтобы можно было указать решение задачи?

Что вы подразумеваете под нормальным видом, простите, не поняла?

Корни то можно и подобрать просто

Можно. Обычно в уравнении 4-ой степени так и делают. Вот это я вам и предлагала сделать для начала. Либо, если без подбора корней, то тогда метод Феррари.

[Hellko]

первое уравнение решается довольно легко и я вам подскажу метод.
делим все уравнения на \( x^2 \) получаем
\( x^2-x+\frac{2}{x}+\frac{4}{x^2}-10=0 \)
делаем замену \( \frac{2}{x}-x=t \)
\( \left(\frac{2}{x}-x\right)^2=x^2+\frac{4}{x^2}-4 \)
 -4 мы возьмем из -10.
получаем
\( t^2+t-6=0 \)
решаем и незабудем что \( t=\frac{2}{x}-x \)

зы. делить на \( x^2 \) можно потому что \( x=0 \) не корень, потому что есть свободный член.

[tig81]

Что-то похожее на возвратные уравнения.

[Hellko]

ладно уравнения довольно интересные, поэтому позволю себе решить еще и номер 2.
раскроем скобки и увидим что уравнение имеет вид \( x^5 + x^4 + 4x^3 + 2x^2 + 4x - 12=0 \)
Видно сразу что имеется корень \( x=1 \). делим, получаем:
\( x^4+2x^3+6x^2+8x+12=0 \)
кто сообразительный догадается, что весь график лежит выше оси OX поэтому остальные корни комплексные.

ps. вру. не так то просто догадаться . Но корень все равно один. Щас еще порешаю

[Hellko]

Что-то похожее на возвратные уравнения.

Такой метод можно применять еще и когда \( n\cdot b^2=a\cdot k \) и \( n\cdot d^2=e\cdot k \)
\( ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \)

[tig81]

Такой метод можно применять еще и когда \( n\cdot b^2=a\cdot k \) и \( n\cdot d^2=e\cdot k \)
\( ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \)

спасибо

[renuar911]

 2) Я бы так решал.

 \( (x^3+x+1)(x^2+x+3)-15=0 \)

\( (x-1)(x^4+2x^3+6x^2+8x+12)=0 \)

Отсюда первый корень  x=1

Во втором сомножителе члены перегруппируем так:

\( x^2(x^2+6)+2x(x^2+4)+12=0 \)

Откуда

\( x = - \bigg [ \frac{12}{x^2+4}+x^2 \frac{x^2+6}{x^2+4} \bigg ] \)

Если \( x>0 \)  , то будет противортечие, поскольку левый x строго отрицательный.

Если \( x<0 \) , то и в этом случае можно доказать, что всегда

\( |x|< \bigg | \frac{12}{x^2+4}+x^2 \frac{x^2+6}{x^2+4} \bigg | \)

В самом деле, если  \( -1 \le x \le 0  \) , то

\( 2.4 \le \frac{12}{x^2+4} \le 3  \)  - а это значительно больше рассматриваемого интервала.

Если же  x < - 1 , то всегда

\( |x|< x^2 \frac{x^2+6}{x^2+4} \)

Иными словами, четыре оставшиеся корня - комплексные.