Экстремумы функций нескольких переменных

[holloloh]

На мне уже довольно долго весит задача, которую я не могу решить
"Дан треугольник с периметром, равным 2p.Найти такие стороны, что при вращении вокруг одной из них объем тела был максимален"
Через формулы Герона и объема конуса я получил объем как функцию сторон
V(x,y,z) = (p-x)*(p-y)*(p-z)/x, x+y+z = 2p
выразив z через x y, я продифференцировал V по x,y, приравнял их нулю и потратив довольно много времени получил вообщем-то одно решение, при котором фигура будет треугольником:
p/2; 3/4p ;3/4p, вращаю вокруг p/2
Проблема в том, что при подсчете определенности якобиана, он ни полож ни отриц определенный.
Я в тупике.
Что сделать дальше?

[renuar911]

А чего тут сложного? Максимальный объем получается при \( x=y=\frac{2}{3}p \)  и равен  \( V=\frac{p^3}{27} \)

Вторая производная показывает, что этот экстремум - максимум.

Остальные три варианта решений системы дают тривиальный V=0, что для нас неинтересно.

[holloloh]

Если это максимум, то определитель, состоящий из производных второго порядка должен быть отрицательно определенный.
Как я помню, для этого надо, чтобы все боковые миноры были отрицательные, а это не так.
воооотъ

[holloloh]

Они должны чередоваться...
Мдя, критерий Сильвестра надо было доучить
Всем спасибо

[renuar911]

Вот чтобы не минорить и не мажорить и существуют графики. Они-то ставят все точки над i . Рисунок показывает четкий максимум V :



При p=6  \( V_{max}=8 \)