Как применять формулы в задачах по комбинаторике и теории вероятности?

[Кэс]

не думаю, что это сложные задачи, просто не уверена, что применяю формулы правильно.
например,
1) Три парня и три девушки решили после окончания школы поступить на работу в своем род-ном городе. В городе имеются три завода, на которые берут только мужчин, два завода, где нужны женщины, и два завода, которые принимают на работу и мужчин, и женщин. Сколькими способами пять выпускников могут распределиться по заводам города?
я применила формулы размещения без возвращений А³₅=60 для парней, А³₄= 24 для девушек. Общее число способов будет 24*60=1440 ?
2) Начальник транспортного цеха пригласил несколько человек на совещание. Каждый участник совещания, входя в кабинет, пожимал руки всем присутствующим. Сколько человек участвовало в совещании, если было всего 78 рукопожатий?
никак не могу сообразить... видимо, нужно как-то исходить из формулы сочетания без возвращений С^m_n= 78 ?
3) В лифте, останавливающемся на семи этажах, едет 10 человек. Каждый из них независимо друг от друга может сойти на любом этаже. Сколькими способами они могут это сделать?
получается, нужно разместить 10 элементов по 7? я в затруднении с формулой... О_о

[Dev]

Не думаю, что начинать следует с приклеивания каких-то формул по каким-то мнемоническим правилам.

Задача 1. Верно, что Вы считали отдельно число способов разместить мужчин и женщин. Ну давайте смотреть, что такое, скажем, один способ разместить по 5 заводам мужчин (чем он отличен от других способов). Способ описывается тем, сколько на какой завод попало мужчин. Два способа отличны, если они отличаются чисом попавших хотя бы на один завод мужчин. Один способ - это в точности выборка с возвращением без учётна порядка, три раза выбираем из пяти объектов. Посмотрите на вывод формулы для числа сочетаний с возвращением, и Вы согласитесь, что это оно.

Теперь про размещения: Вы посчитали число способов размещения мужчин как \( A_5^3 \). Ну давайте поймём, что считает это число и имеет ли оно отношение к нашим потенциальным рабочим. Число \( A_5^3=5\cdot 4\cdot 3 \) - это пятью способами выбираем что-то (видимо, завод; и, видимо, для первого человека), потом четырьмя способами выбираем что-то ещё (видимо, завод для второго,- а почему ему запрещено работать на том же заводе?), потом тремя способами выбираем ещё что-то (видимо, завод для третьего - с тем же вопросом). И самый главный вопрос: почему мы различаем, который человек первый, который второй, который третий? Ведь в числе \( A_5^3 \) выборки (5-й завод, 2-й завод, 1-й завод) и (1-й завод, 2-й завод, 5-й завод) посчитаны как разные. Тогда как из постановки задачи очевидно, что разместить по одному мужчине на 1, 2, 5-й заводы - это один из возможных способов, а не 6 разных.

Задача 2. Руки пожимают обычно двое. И любые двое пожали друг другу руки. Можете описать, число чего именно вычисляет \( C_n^m \) (кстати, обучитесь набирать формулы так, как требуется правилами форума)? Как можно более простыми словами, безо всяких терминов типа "сочетаний", "возвращений" и т.п.

Задача 3. Сколько возможностей у первого человека? Скоько у второго? У третьего?

[Кэс]

1) я так понимаю, что нужно разместить трех человек по пяти заводам. я не полностью поняла все, что вы мне сказали. но, кажется, нашла ошибку: способы считаются не формулой размещения  без возвращения ( я думала, что одного человека нельзя выбрать дважды почему-то), а так: для любого человека есть 5 вариантов размещения, значит, всего вариантов 5³, то есть да, по формуле размещения с возвращениями.для девушек тогда всего способов 4³, итого...теперь я запуталась: складывать или умножать.
2) моей фантазии хватает только на то, чтобы нарисовать схему и дойти до того, что с каждым следующим человеком число связей, которых еще не было, (рукопожатий) становится как бы меньше; то есть если есть 4 человека, то 1й пожимает руки 2му, 3му, 4му (итого три новых связи), второй тогда пожимает только 3му и 4му, потому что связь 1й-2й уже была.
3) у каждого 7 возможностей, итого способов 7¹⁰?

[Dev]

1) Перечитайте ещё раз мои комментарии по 1-й задаче. Более подробно я написать не сумею. Здесь не должно быть никаких размещений с возвращением. Формула для сочетаний с возвращением в курсе была? Что она вычисляет?
2) Не вижу ответа на заданный мной выше вопрос: число чего именно подсчитывает \( C_n^m \).
3) Верно.

[Кэс]

1) была. что вычисляет - затрудняюсь ответить. мы даже примеры на нее не разбирали. видимо, выбирают m элементов из n, причем порядок неважен (то есть нет разницы: 123 321 213 и т.д. - это один и тот же исход) и элементы могут повторяться. у меня в голове повторени элементов как-то туго укладывается.
если находить количество решений по \( \bar{C_{n}^{m}} \), то вопрос остается: \( \bar{C_{5}^{3}} \) и \( \bar{C_{3}^{4}} \) умножать или складывать? наверное, умножать, т.к. И то, И то происходит вместе.
2) в этой задаче или вообще? в этой - не знааааю(

[Кэс]

и еще вот эти две задачи на условную вероятность и формулу Байеса ставят меня в тупик. ЧТО принимать за гипотезы, СКОЛЬКО их..?
I. Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины. Исходя из результатов предыдущих исследова-ний, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0,4. На завершающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет определенную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест ука-зал на присутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?
II. На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятностью 0,95. Звуковой сигнал может срабо-тать случайно и без аварийной ситуации с вероятностью 0,02. Вероятность случайной ситуации равна 0,04. Предположим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?

что принимать за само событие, понятно - что спрашивается в основном вопросе. а гипотезы?

[Dev]

1) была. что вычисляет - затрудняюсь ответить. мы даже примеры на нее не разбирали. видимо, выбирают m элементов из n, причем порядок неважен (то есть нет разницы: 123 321 213 и т.д. - это один и тот же исход) и элементы могут повторяться. у меня в голове повторени элементов как-то туго укладывается.

Давайте уложим. Исход, который Вы назвали, можно назвать так: каждый шар попался один раз. Вот ещё один исход - 221 или 122 или 212. Как его назвать? Второй шар попался дважды, первый - один раз, третий - ни разу. Уже можно сказать, чем отличается один исход от другого при выборе с повторениями, но без учёта порядка шаров: тем, сколько раз попался какой шарик в набор. То же самое с заводами: всего мы выбирали трижды завод. Заводов - для мужчин - было пять. И важно лишь, сколько раз мы "брали" первый завод, сколько раз - второй, и т.д.

если находить количество решений по \( \bar{C_{n}^{m}} \), то вопрос остается: \( \bar{C_{5}^{3}} \) и \( \bar{C_{3}^{4}} \) умножать или складывать? наверное, умножать, т.к. И то, И то происходит вместе.

Умножать, конечно. Только не по этой причине, а по комбинаторному правилу умножения: каждому варианту как-то распределить мужчин  отвечает сколько-то вариантов как-то распределить женщин.

2) в этой задаче или вообще? в этой - не знааааю(

Вообще.

[Dev]

что принимать за само событие, понятно - что спрашивается в основном вопросе. а гипотезы?

Вот это и неверно. "Само событие" - это результат эксперимента. А гипотезы - это взаимоисключающие пути его получения. Сначала следует сформулировать гипотезы. Потом - событие A, а уже потом описать, что за вероятность является искомой.

[Кэс]

1) ясно. то есть ответ будет \( \bar{C_{5}^{3}} \) * \( \bar{C_{3}^{4}} \)
2)вообще - сколько разных перестановок m элементов из n может быть без учета порядка элементов и без повторений. Возвращаясь к уже данному мной примеру: если имеются числа 1, 2, 3,  то \( {C_{n}^{m}} \) будет отражать число таких перестановок, как 12(то же самое 21), 13(или 31), 23(или 32)

[Dev]

2) Замечательно. Только "перестановки ... без учёта порядка" - это нонсенс. Число \( C_n^m \) - это число \( m \)-элементных подмножеств множества из \( n \) элементов. Что то же самое, число (неупорядоченных) наборов по \( m \)-элементов, которые можно выбрать из \( n \) элементов.

Вернёмся к задаче. Ещё раз: одно рукопожатие = ПАРА человек.

[Кэс]

да. формулировки у меня хромают)
получается, что число рукопожатий - это количество пар, выбранных из общего числа человек, без повторений без учета порядка. \( C_n^2 \)=78 ..?

[Dev]

Да. Найдите теперь \( n \).

[Кэс]

да, но в этом и проблема! \( 78= \frac{n!}{2(n-2)!}  \), а я не знаю, что делать с этими факториалами n и как раскрывать скобки

[tig81]

да, но в этом и проблема! \( 78= \frac{n!}{2(n-2)!}  \), а я не знаю, что делать с этими факториалами n и как раскрывать скобки

\( n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2)\cdot (n-1) \cdot n = (1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-2))\cdot (n-1)n=(n-2)!\cdot (n-1)n \)

Подставляйте, сокращайте, решайте квадратное уравнение

[Кэс]

Большое спасибо за помощь.
Еще две задачи из контрольной работы. Я, как всегда, путаюсь с пониманием задания.
1. Имеется 10 елочных игрушек:  6 синего цвета и 4 зеленого.  Сколькими способами можно выбрать одну зеленую и одну синюю игрушку? какова вероятность, что  из трех выбранных шаров хотя бы один зеленый?

Я в затруднении, как решить эту задачу, мне не совсем понятно, как искать кол-во способов выбрать шар какого-то цвета.  Выбирают ли один зеленый и один синий из всех 10 шаров, или 1 зеленый из 4 лежащих и 1 синий из 6 лежащих?
2. Сколькими способами можно распределить 5 билетов среди 5 человек? Какова вероятность, что два определенных человека всегда будут сидеть рядом? (с учетом, что все места рядом)
(Вот мне кажется второй вопрос бредовым - в кино не могут ВСЕ 5 мест рядом, там же не по кругу стоят кресла. Ну да ладно, надо тогда "мыслить абстрактно".)
Способов распределить билеты (как я поняла, этот вопрос подразумевает, что разные места=разные способы, а не просто один способ - раздать всем по билету) \( \bar{Р_{5}} \)=5!=120. Это у меня было правильно
на второй вопрос я опять запуталась, что принимать за благоприятный исход(