Помогите с определением пределов интегрирования

[Лариса66]

Помогите, пожалуйста, с определением пределов интегрирования для задачи "Вычислить площадь фигуры, ограниченной  заданными  линиями, с помощью двойного интеграла  r=2a*sin fi   r=2a*cos fi, угол от 0 до pi/2.
Мне кажется, что  в интеграле по fi от 0 до pi/4 а в интеграле по r от 2a*cos fi до 2a*sin fi . Так ли это?

[tig81]

а что у вас за два интеграла? Тем более пределы изменения полярного угла заданы.

[Лариса66]

Так требуется вычислить именно с помощью двойного интеграла. Oкружности у меня пересеклись при угле fi=pi/4. Вот в двойном интеграле и перечислены пределы. Сначала идет интеграл по углу, а потом от rdr с указанными выше пределами. В чем я как-то не очень уверена.

[renuar911]

Задачу так понял и решил:



Двойного интеграла и не требуется. Если же нужен двойной, то хотя бы известно, к какому ответу идти.

Хотя все просто:

\( S = 2\,\int _{0}^{1/4\,\pi }\!\int _{0}^{2\,a\sin \left( t \right) }\!1{dx
}\,{dt}=4\,a-2 \sqrt {2}a
 \)

Если же нужно в общем случае (то есть не зная о симметрии), то делаем так:

\( \int _{0}^{1/4\,\pi }\!\int _{0}^{2\,a\sin \left( t \right) }\!1{dx}\,
{dt}+\int _{1/4\,\pi }^{1/2\,\pi }\!\int _{0}^{2\,a\cos \left( t
 \right) }\!1{dx}\,{dt}=4\,a-2\,\sqrt {2}a
 \)

Вот как реализуется в Maple:

S :=  int(int(1, x = 0 .. 2*a*sin(t)), t = 0 .. (1/4)*Pi)+int(int(1, x = 0 .. 2*a*cos(t)), t = (1/4)*Pi .. (1/2)*Pi);

[Лариса66]

Ничего себе, а я и рисовала в полярных координатах и у меня 2 пересекающихся окружности получилось! А надо было, оказывается в прямоугольной системе координат.

[renuar911]

Я просто предположил, что в декартовых координатах. Как действительно нужно - это Вы должны уточнить. Но пожалуй Вы правы насчет полярных координат. Вот рисунок.



 Интегрирование будет ненамного сложней, чем я привел в декартовых коорд. Попытайтесь сами справиться. Интересно, какой же будет площадь?

Из геометрии легко найти:

[Dimka1]

Вот рисунок.

Видать это доставляет Вам большое удовольствие. Я бы так "жевать" да и еще в цвете не смог.

[renuar911]

Удовольствие оправдано. У меня параллельно подготавливаются главы книги. И не нужен мне берег турецкий и рейтинги мне не нужны 

[Лариса66]

Вот именно к такому рисунку я и не уверена, каковы пределы интегрирования... Как я в самом первом вопросе писала: "Мне кажется, что  в интеграле по fi от 0 до pi/4 а в интеграле по r от 2a*cos fi до 2a*sin fi . Так ли это?"

[renuar911]

Проверьте интеграл с такими пределами! Ответ я Вам дал. Если совпадет, то пределы верные.

[Лариса66]

Такой ответ получается и у меня, если вообще в пределах без линии с cos обойтись (по fi от 0 до pi/4 а в интеграле по r от 0  до 2a*sin fi), так как симметричная фигура. Удвоить надо, конечно. Наверное не обязательно cos использовать.

[renuar911]

В данном случае не надо. Можно удваивать.
Но чтобы показать эрудицию, лучше учесть и косинус. Ведь могли задать не две одинаковые окружности.
Все Ваше решение на всякий случай покажите здесь. Вдруг у Вас неточности, да и другим студентам поучиться не грех.