Найти общий член ряда

[Die Liebe]

помогите пожалуйста найти общий член ряда : 5 7 12 14 19 21

я даже не знаю с чего начать (

для нечетного ряда 5 7 9 11 ... наколдовала такую формулу : \( {a_{_n}} =  - 5*{( - 1)^n} + (2n - 2) \)
 
и в каком направлении дальше двигаться не знаю (

[tig81]

Можно попробовать задать рекуррентным соотношением:
\( u_{n+1}=u_n+5\cdot\frac{1+(-1)^{n}}{2}+1+(-1)^{n+1},\,u_1=5 \)
или
\( u_{n+1}=u_n+\frac{7+3\cdot(-1)^n}{2},\,u_1=5 \)

[tig81]

для нечетного ряда 5 7 9 11 ... наколдовала такую формулу : \( {a_{_n}} =  - 5*{( - 1)^n} + (2n - 2) \)

Можно проще: \( 2n+3 \) и при \( n=2 \) 7 не получится

[renuar911]

Реккурентная формула такая:

\( a(1)=0 \)

\( a(n)=7n-a(n-1)-9 \)

Но вот и явная формула!!!:

\( \bigg [5+\frac{7(n-1)}{2} \bigg ]( n \, mod \, 2) + \frac {7n}{2}(1 - n \, mod \, 2) \)

n=1, 2, 3 , ...

Можете проверить в Maple

[renuar911]

А вообще-то это группа чисел {0,5} mod 7

[tig81]

\( \bigg [5+\frac{7(n-1)}{2} \bigg ]( n \, mod \, 2) + \frac {7n}{2}(1 - n \, mod \, 2) \)

Вау, отключилась и получила аналогичное, но немного в иной форме. А Вы, Георгий, здесь отписались.
У меня так вышло: \( \frac{14n+3(1-(-1)^n)}{4} \)

Автору есть из чего выбирать 

[renuar911]

tig81 !!!

Замечательная формула! Да и проще не придумать  

Очень бы хотелось узнать, как к такому результату можно приходить формально.

Я отталкивался от поиска общих формул при нечетных и четных n. Ну и придумал "переключатель" в виде сравнения по моде.

[tig81]

tig81 !!!
Замечательная формула! Да и проще не придумать 

Но как показало сравнение, аналогична с Вашей.

[renuar911]

В ожидании метода... 

[renuar911]

В принципе сам догадался. Ищем решение в виде

\( a=k_1 n +k_2 +(-1)^n k_3 \)

Тут три неизвестных числа  \( k_1 , k_2 , k_3 \)

Составляем три уравнения, принимая:

\( n_1=1  \to  a_1=5 \)

\( n_2=2  \to  a_2=7 \)

\( n_3=3  \to  a_3=12 \)

Если решить эту систему, получится в точности формула  tig81

[renuar911]

При помощи общей формулы можно изобретать довольно интересные числовые последовательности, например:

\( 13 \cdot n - 3 +4\cdot (-1)^n  \)

при n=0, 1, 2, ...

1  6  27  32  53  58  79  84  105  110  ...

[tig81]

В принципе сам догадался. Ищем решение в виде

\( a=k_1 n +k_2 +(-1)^n k_3 \)

делала не так. Вначале посмотрела, что члены отличаются на 5 и 2. Потом получила для каждой группы свою формулу и все упростилось

[Die Liebe]

Потрясающе !!! Спасибо за содержательные ответы ! Действительно есть из чего выбрать !

[Die Liebe]

делала не так. Вначале посмотрела, что члены отличаются на 5 и 2. Потом получила для каждой группы свою формулу и все упростилось

tig81, можно вас попросить формулы для обоих рядов, которые у вас получились, в студию???  
 Заранее спасибо

[tig81]

tig81, можно вас попросить формулы для обоих рядов, которые у вас получились, в студию???  
 Заранее спасибо

Скорее нет, записи в мусорке уже.

В принципе сам догадался. Ищем решение в виде
\( a=k_1 n +k_2 +(-1)^n k_3 \)
Тут три неизвестных числа  \( k_1 , k_2 , k_3 \)
Составляем три уравнения, принимая:
\( n_1=1  \to  a_1=5 \)
\( n_2=2  \to  a_2=7 \)
\( n_3=3  \to  a_3=12 \)
Если решить эту систему, получится в точности формула  tig81

+Запишите, что получается для четных n и для нечетных.