Степенные ряды.

[Fairmont]

Можете проверить и помочь. Буду писать ряды по мере выполнения.
1)
\( \sum \frac{x^{n}}{e^\sqrt{n}} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\frac{e^{\sqrt{n}}}{e^{\sqrt{n+1}}}=\frac{1}{e} \)
\( R=e \)\( \Rightarrow (-e;e) \)
x=e
\( \lim_{n \to \infty }\frac{e^{n}}{e^{\sqrt{n}}} \)
x=-e
\( \lim_{n \to \infty }\frac{-e^{n}}{e^{\sqrt{n}}} \)
не могу взять эти приделы, по Даламберу получается 1.

[Fairmont]

2)
\( x-\frac{x^3}{3*3!}+...+(1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)(2n-1)!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim{\frac{1^{n+2}(2n-1)(2n-1)!}{1^{n+1}2n(2n)!}}=1 \)
Правильно ли я нашел радиус?

[Fairmont]

3)
\( \sum \frac{n^{2}(x+3)^{n}}{n!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim\frac{(n^2+2n\+1)n!}{(n+1)n^{2}}=0  \)
\( R=0 \)\( \Rightarrow (-\infty;\infty  ) \)

[Dimka1]

\( \sum \frac{x^{n}}{e^\sqrt{n}} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\frac{e^{\sqrt{n}}}{e^{\sqrt{n+1}}}=\frac{1}{e} \)
\( R=e \)\( \Rightarrow (-e;e) \)

Можно проще решать.По признаку Коши

lim |x/e^(1/sqrt(n))|<1
|x|<1
-1<x<1
теперь проверяйте поведение ряда при x=-1 и x=1 и делайте вывод об области определения

[Dimka1]

3)
\( \sum \frac{n^{2}(x+3)^{n}}{n!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim\frac{(n^2+2n\+1)n!}{(n+1)n^{2}}=0  \)
\( R=0 \)\( \Rightarrow (-\infty;\infty  ) \)

да

[Fairmont]

2)
\( x-\frac{x^3}{3*3!}+...+(1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)(2n-1)!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim{\frac{1^{n+2}(2n-1)(2n-1)!}{1^{n+1}2n(2n)!}}=1 \)
Правильно ли я нашел радиус?

Опечатка в самом условии минус -1

[Fairmont]

\( \sum \frac{x^{n}}{e^\sqrt{n}} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\frac{e^{\sqrt{n}}}{e^{\sqrt{n+1}}}=\frac{1}{e} \)
\( R=e \)\( \Rightarrow (-e;e) \)

Можно проще решать.По признаку Коши

lim |x/e^(1/sqrt(n))|<1
|x|<1
-1<x<1
теперь проверяйте поведение ряда при x=-1 и x=1 и делайте вывод об области определения

Чуть не понятно как вы нашли этот придел, если вы искали радиус, зачем писали "х"

[Dimka1]

2)
\( x-\frac{x^3}{3*3!}+...+(1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)(2n-1)!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim{\frac{1^{n+2}(2n-1)(2n-1)!}{1^{n+1}2n(2n)!}}=1 \)
Правильно ли я нашел радиус?

Опечатка в самом условии минус -1

По Даламберу
lim | [ (-1)^(n+1)*x^2*(2n-1) ] / [ 2n*(2n+1)^2  ] | <1

[Dimka1]

Чуть не понятно как вы нашли этот придел, если вы искали радиус, зачем писали "х"
[/quote]

Я не радиус искал, а исследовал на сходимость по признаку Коши p= lim(Un)^(1/n)
Ряд сходится, если |p|<1, т.е. lim |(Un)^(1/n)|<1
Решаете неравенство находите диапазон изменений x и затем уточняете поведение ряда на концах этого диапазона

[Fairmont]

Чуть не понятно как вы нашли этот придел, если вы искали радиус, зачем писали "х"


Я не радиус искал, а исследовал на сходимость по признаку Коши p= lim(Un)^(1/n)
Ряд сходится, если |p|<1, т.е. lim |(Un)^(1/n)|<1
Решаете неравенство находите диапазон изменений x и затем уточняете поведение ряда на концах этого диапазона

Мне в задание просто надо через радиус.

[Fairmont]

2)
\( x-\frac{x^3}{3*3!}+...+(1)^{n+1}\frac{x^{2n+1}}{(2n-1)(2n-1)!} \)
Решение
\( \frac{1}{R}=\lim{\frac{1^{n+2}(2n-1)(2n-1)!}{1^{n+1}2n(2n)!}}=1 \)
Правильно ли я нашел радиус?

Сходится по Лейбницу.
Сделал получается х принадлежит [-1;1]

[Fairmont]

Объясните пожалуйста ещё раз первый.

[Dimka1]

Объясните пожалуйста ещё раз первый.

а что не понятно?

[Fairmont]

Ну мне нужно через радиус, а он у меня что то не получается.

[Fairmont]

4)
\( \sum [(\frac{n+1}{n})^{n}x]^{n} \)- пробовал по Коши не получилось.