Предел

[xlmax]

Дано:

\( \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{x} ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \)

Делал так:

\( \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x} ln {(\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2}}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}ln \frac{1+x}{1-x}= \)

\( = \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{2x})\lim_{x \rightarrow 0}(ln \frac{1+x}{1-x}) \)

\( \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{2x})=\propto  \)

\( \lim_{x \rightarrow 0}(ln \frac{1+x}{1-x})= 0 \)

Что я делаю не так?

[renuar911]

Наверное, самое простое - разложить в ряд Тейлора:

\( \frac{1}{x}ln \frac{1+x}{1-x}=2+\frac{2x^2}{3} + \frac{2x^4}{5} + \frac{2x^6}{7}+...  \)

Хорошо видно, что при x=0 предел равен 2

ой, вру, про корень забыл (((

Если учесть корень при логарифме, то перый член ряда Тейлора будет  в два раза меньше, то есть предел равен 1.

[xlmax]

Мы ряды еще не проходили 

Я там (в первом посте) немного еще "решил". Все равно какая-то  получилась.

[renuar911]

Проверил предел в Мапл и Вольфраме, действительно 1

[renuar911]

Аааа, знаю как Вам делать. Нужно применить эквивалентные.

\( \frac{1}{2}\big [ \lim \limits _{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}-\lim \limits _{x \to 0}\frac{ln(1-x)}{x}\big ]=\frac{1}{2}[1-(-1)]=1  \)

[xlmax]

Аааа, знаю как Вам делать. Нужно применить эквивалентные.

\( \frac{1}{2}\big [ \lim \limits _{x \to 0}\frac{ln(1+x)}{x}-\lim \limits _{x \to 0}\frac{ln(1-x)}{x}\big ]=\frac{1}{2}[1-(-1)]=1  \)

Что-то я не пойму как Вы преобразовали. 

[renuar911]

Эквивалентная замена по правилу

\( ln(1+U) \sim U \)

Это при U -> 0

[xlmax]

Мои однокурсники свели это выражение к замечательному пределу

\( \lim_{x\rightarrow 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e \)

Я пробую, но пока не получается.

\( \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{x} ln {(\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2}}= \lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2x}ln \frac{1+x}{1-x}= \)

\( \lim_{x \rightarrow 0}ln{ (\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2x}} \)

Теперь, как я понимаю, можно ln вынести за предел, а предел внести под ln

\( ln(\lim_{x \rightarrow 0}{ (\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2x}}) \)

Осталось найти

\( \lim_{x \rightarrow 0}{ (\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2x}} \)

сведя его к замечательному пределу, а потом взять от полученного числа логарифм.

[xlmax]

Решил вот так:

Дано:

\( \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{x} ln \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}) \)

Делал так:

\( \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{x} ln {(\frac{1+x}{1-x})}^{\frac{1}{2}})= \lim_{x \rightarrow 0}(\frac{1}{2x}ln \frac{1+x}{1-x})= \)

\( =\lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}(ln (1+x)- ln(1-x))]= \)

\( =\lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}ln (1+x)]- \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}ln(1-x)]= \)

Теперь через эквивалентную замену

\( ln(1+x)\sim x \)

\( \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}*x]- \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}*(-x)]= \)

\( \frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1 \)

Вот так.
Не уверен, что верно,но с ответом сходится  

[renuar911]

Этот предел равен \( e \)

Я просто часто пользуюсь формулой  (еще дано ее доказал):

\( \lim \limits _{x \to 0} \bigg (\frac{1+ax}{1-ax} \bigg )^{\frac{1}{bx}}=e^{\frac{2a}{b}} \)

[xlmax]

Хорошая формула, но мы ее не проходили. 
Написал свое решение постом выше

[Zavodnoi07]

Теперь через эквивалентную замену

\( ln(1+x)\sim x \)

\( \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}*x]- \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2x}*(-x)]= \)

\( \frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1 \)

Вот так.
Не уверен, что верно,но с ответом сходится 


Как так получилось?
x-> 0, соответсвенно получится не 1/2 - (- 1/2), а 0 + 0 = 0, а это не сходится с ответом

[xlmax]

Там же иксы сокращаются и остается

\( \lim_{x \rightarrow 0}[\frac{1}{2}]- \lim_{x \rightarrow 0}[-\frac{1}{2}] \)

Нет?

[Zavodnoi07]

А ну да, sorry, не заметил умножения))

[wital1984]

А по мне, так проще решить по правилу Лопиталя.