Найти предел последовательности

[xlmax]

Дана последовательность

sqrt(2) , sqrt(2sqrt(2)) , sqrt(2sqrt(2sqrt(2))),...

Нужно вычислить её предел.

Заметил, что всю последовательность можно записать как:

(2^n-1)/2^n

Теперь нужно найти

lim (2^n-1)/2^n

И тут у меня наступает творческий кризис (он же отсутствие знаний)

[tig81]

почленно поделите

[xlmax]

lim2^n-1/lim2^n

получаем infinity/infinity

 

[Asix]

А по-моему, это равняется 1 =))

[tig81]

получаем infinity/infinity

Как такая неопределенность получилась?

[tig81]

А по-моему, это равняется 1 =))

Именно так.

[xlmax]

А по-моему, это равняется 1 =))

Именно так.

А в задачнике правильный ответ 2

[tig81]

Показывайте, как пришли к такому виду:

Заметил, что всю последовательность можно записать как:
(2^n-1)/2^n

[Asix]

Гы, у нас тут недопонимание =))

sqrt(2sqrt(2)) = sqrt(2 * sqrt(2)) - там умножается на 2? =))

[xlmax]

Гы, у нас тут недопонимание =))

sqrt(2sqrt(2)) = sqrt(2 * sqrt(2)) - там умножается на 2? =))

Да.
Первый член корень из двух, второй - корень из произведения двойки и корня из двух, третий - корень из двух умноженное на корень из двух корней из двух и т.д.

[xlmax]

Нет, я явно перегрелся.

(2^n-1)/2^n - это только степень в которую нужно возвести 2.
То есть вся последовательность запишется так:

2^((2^n-1)/2^n)

и предел будет от этого же выражения:

lim 2^((2^n-1)/2^n)

Хм, но хрен редьки не слаще...

[xlmax]

Хотя, по тому же принципу

lim 2^n-1 = infinity

lim 2^n = infinity

infinity/infinity = 1

а 2^1 = 2 =>

=> lim 2^((2^n-1)/2^n) = 2

Так?

[Dimka1]

lim 2^((2^n-1)/2^n) = lim 2^[ (1-(1/2^n) ] = 2^(1-0)=2^1=2

[xlmax]

lim 2^((2^n-1)/2^n) = lim 2^[ (1-(1/2^n) ] = 2^(1-0)=2^1=2

Простите, а как из 2^((2^n-1)/2^n) получили 2^[ (1-(1/2^n) ] ?

[xlmax]

lim 2^((2^n-1)/2^n) = lim 2^[ (1-(1/2^n) ] = 2^(1-0)=2^1=2

Простите, а как из 2^((2^n-1)/2^n) получили 2^[ (1-(1/2^n) ] ?

Ой, все понял.
Спасибо!