Прошу помощи в решении задачи: найти сумму ряда

[deadyshka]

Здравствуйте.
Прошу помощи в решении задачи:

Найти сумму ряда: SUM(3^n+2^n)/(5^n) от n=0 к n=бесконечность

Если взять предел, то он будет равен 0, след. ряд сходиться.
Разбил на простые дроби SUM((3/5)^n+(2/5)^n) и посмотрел что получиться
A1=2              S1=2
A2=1              S2=3
A3=13/25       S3=3+13/25
A4=7/25         S4=3+4/5
A5=275/3125  S5=3+597/625

Получается что А стремиться к 0, ряд сходится, но сокращений никаких нет. Знаю чтобы найти Сумму нужно найти Предел Sn, но составить Sn немогу, подскажите пожалуйста...

[renuar911]

Лучше всего выучить правило:

\( \sum \limits _{n=0}^{\infty} \frac{a^n+b^n}{c^n}=\frac{c}{c-a}+\frac{c}{c-b} \)

[deadyshka]

Спасибо. Но не могли вы бы сказать, что это за правило. А то я не понял, откуда вы это взяли.

[renuar911]

Я пошел довольно сложным путем. Применяя метод математической индукции, нашел:

\( \sum \limits_{n=0}^{m} \frac{c^{m+1}(c-a+c-b)-b^{m+1}(c-a)-a^{m+1}(c-b)}{c^m(c-a)(c-b)} \)

Далее взял предел этого выражения и получил простой ответ, который написал в своем первом посте (с учетом того, что c>a  и  c>b ).

[deadyshka]

0_0 Ого. Такого я незнаю =\
Вроде я разобрался.
Разделил на 2 простые дроби:
SUM((3/5)^n+(2/5)^n)
отсюда  виджу, что это 2 бесконечно убывающие прогрессии с q1=3/5 и q2=2/5
отсюда по формуле S=a1/(1-q) получил S1 первой прогрессии = 5/2 и S2=5/3, след
S=S1+S2=25/6 АЛИЛУЯ!

[renuar911]

Да, Ваш способ оказался проще. Если рассмотреть общую задачу, то будем иметь

\( q_1=\frac{a}{c} \, ; \qquad  q_2=\frac{b}{c} \)

\( S_1=\frac{r_{11}}{1-q_1}=\frac{1}{1-\frac{a}{c}} \)

\( S_2=\frac{r_{12}}{1-q_2}=\frac{1}{1-\frac{b}{c}} \)

\( S_1+S_2= \frac{c}{c-a}+\frac{c}{c-b} \)

Здесь \( r_{11}=\bigg ( \frac{a}{c} \bigg )^0=1 \, \qquad r_{12}=\bigg ( \frac{b}{c} \bigg )^0=1 \)

Думаю, именно так Вам рекомендую вести доказательство, а потом подставить Ваши \( a, b, c \)

[deadyshka]

Cпасибо.