Помогите исследовать на сходимость интеграл

[ANNY_22]

исследовать на сходимость интеграл


исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл

[tig81]

А что не получается? Как исследовали?

[ANNY_22]

интересует второй интеграл, а именно, исследование в точке x, где x+ln(x)=0. Как найти эту точку?
Maple приблизительно выдает 0.567143, а точное?

[tig81]

интересует второй интеграл, а именно, исследование в точке x, где x+ln(x)=0. Как найти эту точку?
Maple приблизительно выдает 0.567143, а точное?

Это трансцендентное уравнение. Врядли вы его решите точно.
Мне Maple выдал LambertW(1)

[ANNY_22]

и мне... а как тогда исследовать на интервале от 0 до 1?

[tig81]

и мне... а как тогда исследовать на интервале от 0 до 1?

Метод сравнения, как мне кажется, здесь работает. Попробуйте оценить подынтегральную функцию.

[renuar911]

Тут важно оценивать не интервалы от 0 до 1  и от 1 до бесконечности, а от 0 до W(1) и от W(1) до бесконечности. Я численно решал и получил такие значения:

\( \int \limits_{0}^{0.5671492904}\frac{cos(x)}{x+ln(x)} dx \approx -7.50299 \)

\( \int \limits_{0.5671492905}^{\infty}\frac{cos(x)}{x+ln(x)} dx \approx 6.53905 \)

Сумма равна -0.96394

Но в зависимости от принимаемой точности, весь интеграл "гуляет" в интервале от -1 до 1. То есть, он как бы сходится к небольшому числу, но броуновски движется. Такие интегралы, скорее всего, не сходятся в строгом смысле.

Если мы возьмем менее точные интервалы: от 0 до 0.567143   и от 0,5671436 до бесконечности, то получим соответственно -4.35956  и 4.05417 и сумма будет -0.30539. Это в три раза меньше, чем в первом моем примере.

[renuar911]

Все дело именно в точке \( x=W(1) \approx 0.5671432904097838729999686622103555497538... \)

Если брать интеграл в интервале, например, от 0,5 до 0,6, то Maple выдает сообщение Float(undefined)

[tig81]

Интеграл надо не брать, а исследовать на сходимость

[ANNY_22]

Все дело именно в точке \( x=W(1) \approx 0.5671432904097838729999686622103555497538... \)

Если брать интеграл в интервале, например, от 0,5 до 0,6, то Maple выдает сообщение Float(undefined)

Что это значит?

[tig81]

неопределенность.