Квадратное неравенство с параметром

[Matisss]

При каких значениях действительных значениях \( k \) все решения неравенства \( (k-1)x^2+(k^2-2k+2)x+k+1>0 \) положительны и меньше \( 2 \)?
Решение.
При \( k=1 \) получаем \( x>-2 \) - что не удовлетворяет условию задачи.
Далее переходим к совокупности двух систем:
\( \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} k>1, \hfill \\ D>0, \hfill \\ f(0)>0, \hfill \\ f(2)>0 \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} k<1, \hfill \\ D>0, \hfill \\ f(0)<0, \hfill \\ f(2)<0 \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \)
Или все это можно представить ввиде неравенства:
\( (k-1)\cdot f(0)\cdot f(2)>0 \) с учетом \( D>0 \).
Но вот именно неравенство с \( D>0 \) у меня не получается решить. Там вылезают четвертые степени и я ничто не могу с ними поделать...
Вот что получается:
\( D=(k^2-2k+2)^2-4(k-1)(k+1)=k^4+4k^2+4-4k^3-8k+4k^2-4k^2+4=k^4-4k^3+4k^2-8k+8 \);
И нужно чтобы \( k^4-4k^3+4k^2-8k+8>0. \) Вот тут ниче не выходит. Помогите.

[Dimka1]

И нужно чтобы \( k^4-4k^3+4k^2-8k+8>0. \) Вот тут ниче не выходит.

только графически 2 положительных корня.

p.s. бросьте заниматься этой ерундой. Если даже и на экзамене попадется, то за отведенный для экзамена период времени это не решить. Многие современные студенты таблицы умножения не знают.

[Matisss]

Решаю для интереса ни к чему не готовлюсь. Ну это же давали когда-то абитуре в МАИ. Получается никто не мог решить что ли?

[Dimka1]

Решаю для интереса ни к чему не готовлюсь. Ну это же давали когда-то абитуре в МАИ. Получается никто не мог решить что ли?

Скорее всего здесь другой подход к решению, не связанный с решением D>=0.

[Matisss]

Не отрицаю. Но по-моему это классическое неравенство на тему расположение корней квадратного трехчлена относительно числа.

[renuar911]

Мне кажется, условие задачи ошибочно. Ведь при конкретном k имеет место парабола. Ветви параболы всегда уходят либо в плюс беск., либо в минус беск. У Вас же получается, что вся парабола должна уместиться в диапазоне от 0 до 2. Это невозможно. Может быть в условии должно быть " и больше 2" ? Или нечто иное.

Если я прав, и верно предположение " и больше 2", то решение будет при k=2

[renuar911]

Эту задачу решал так: взял производную функции по k, потом производную по x. Приравнял оба результата нулю. Получил следующее:

\( x^2+2(k-1)x+1=0 \)

\( 2(k-1)x+k^2-2(k-1)=0 \)

Решая эту систему находим две пары действительных корней:

x=1; k=0; функция равна 2, это локальный минимум вершины параболы, ветви параболы направлены вниз.

x=-1; k=2; функция равна 2, это локальный максимум ложбины параболы, ветви параболы направлены вверх (данное решение я и привел в предыдущем посте).

PS. Нашел также две комплексные пары x и k, но по условию задачи они не приняты.