тригонометрические уравнения

[Белый кролик]

Повторяю элементарную математику,поэтому всех вас замучаю. Кое-что не получается.
1.Какой знак имеет число cos\( \sqrt{ 3} \)?
Я знаю,что рядом с косинусом пишут угол,но что это за угол \( \sqrt{3} \)?Не знаю,как ответить на этот вопрос.
2.Решить уравнение.
sin(3cosx)=\( \frac{1}{2} \),
3cosx=\( {(-1)}^{n}\times\frac{\pi}{6}+\pi\times\ \)n,
cosx=\( {(-1)}^{n}\times\frac{\pi}{18}+\frac{\pi\times n}{3} \).На этом мои познания закончись.
3.Решить уравнение.
sin(\( {x}^{2} \)+x)=\( \frac{1}{2} \).Понятно,что относительно скобки я решить могу,а дальше?

[Dimka1]

Повторяю элементарную математику,поэтому всех вас замучаю. Кое-что не получается.
1.Какой знак имеет число cos\( \sqrt{ 3} \)?
Я знаю,что рядом с косинусом пишут угол,но что это за угол \( \sqrt{3} \)?Не знаю,как ответить на этот вопрос.

cos(sqrt(3))=cos( Pi  / [Pi/sqrt(3)]    )

Pi  / [Pi/sqrt(3)] - угол 2 четверти, т.к.

Pi/2 <  Pi  / [Pi/sqrt(3)]  < Pi/1
Pi/2 <  sqrt(3)  < P
Pi <  2sqrt(3)  < 2P
Pi² <  12  < 4Pi² равенство верное

косинус во второй четверти отрицателен, сл-но cos(sqrt(3)) имеет отрицательный знак

[Dimka1]

2.Решить уравнение.
sin(3cosx)=\( \frac{1}{2} \),
3cosx=\( {(-1)}^{n}\times\frac{\pi}{6}+\pi\times\ \)n,
cosx=\( {(-1)}^{n}\times\frac{\pi}{18}+\frac{\pi\times n}{3} \).На этом мои познания закончись.

x=+-arccos[ (-1)ⁿ*Pi/18+Pi*n/3 ]+2*Pi*n

[Белый кролик]

1.Гениально!Это ж надо было до такого додуматься....
2.Насчет второго я тож так подумал,но это точно правильно?Просто первый раз встретил такой ответ-кваказябр.

[Dimka1]

3.Решить уравнение.
sin(\( {x}^{2} \)+x)=\( \frac{1}{2} \).Понятно,что относительно скобки я решить могу,а дальше?

а дальше как квадратное уравнение

x²+x=(-1)ⁿPi/6+Pi*n

Пусть a=(-1)ⁿPi/6+Pi*n

x^2+x-a=0

x1,2=-1/2+-1/2*sqrt(1+4*a)

x1,2=-1/2+-1/2*sqrt(1+4*[     (-1)ⁿPi/6+Pi*n            ]   )

[Белый кролик]

Спасибо,о великий Dimka1!Премного благодарен.Завтра ещё выложу кое-что.

[Dimka1]

2.Насчет второго я тож так подумал,но это точно правильно?Просто первый раз встретил такой ответ-кваказябр.

Прверку сделайте, например на калькуляторе при n=0, 1,2 ,3.....

[Белый кролик]

Ой,так прикольно.Первый раз делал проверку тригонометрического уравнения.
У меня все получилось.

[Белый кролик]

Сегодня у меня не получилось вот такое уравнение(не сошлось с ответом).
\( {sin}^{8}x \)+\( {cos}^{8}x \)=\( \frac{17}{16} \)\( {cos}^{2} \)2x
Воспользовался формулой для понижения степени и вот,что в итоге у меня получилось.
\( \frac{1}{16} \)(2\( {cos}^{4} \)2x+12\( {cos}^{2} \)2x+2)=\( \frac{17}{16} \)\( {cos}^{2} \)2x
Разделил на\( \frac{1}{16} \),свелось к биквадратному уравнению:
2\( {cos}^{4} \)2x-5\( {cos}^{2] \)2x+2=0.Сделал замену.Получилось 2 корня.t=2,t=\( \frac{1}{2} \).
Потом как простейшее тригонометрическое.Но у меня с ответом не сходится.Ответ в книжке:\( \frac{\pi}{8} \)+\( \frac{\pi}{4} \)n.

[Белый кролик]

Ещё одно уравнение,которое я даже преобразовать не могу.Оно должно свестись к квадратному.
sin4x=(1+\( \sqrt{2} \))(sin2x+cos2x-1).Если можно мне тонко намекнуть в каком направлении мне двигаться,буду благодарен.
Ответ на это уравнение:\( \frac{\pi}{8} \)+\( {\pi} \)n.
(\( {(-1)}^{n} \) -1)\( \frac{\pi}{8} \)+\( \frac{\pi}{2} \)n.

[Dimka1]

Сегодня у меня не получилось вот такое уравнение(не сошлось с ответом).
\( {sin}^{8}x \)+\( {cos}^{8}x \)=\( \frac{17}{16} \)\( {cos}^{2} \)2x
Воспользовался формулой для понижения степени и вот,что в итоге у меня получилось.
\( \frac{1}{16} \)(2\( {cos}^{4} \)2x+12\( {cos}^{2} \)2x+2)=\( \frac{17}{16} \)\( {cos}^{2} \)2x
Разделил на\( \frac{1}{16} \),свелось к биквадратному уравнению:
2\( {cos}^{4} \)2x-5\( {cos}^{2] \)2x+2=0.Сделал замену.Получилось 2 корня.t=2,t=\( \frac{1}{2} \).
Потом как простейшее тригонометрическое.Но у меня с ответом не сходится.Ответ в книжке:\( \frac{\pi}{8} \)+\( \frac{\pi}{4} \)n.

У меня получилось

(1/8)*sin(2x)⁴+(1/16)*sin(2x)²-1/16=0

и решаете как биквадратное

sin2x=+-sqrt(2)/2

[Белый кролик]

Не врублюсь,а как синусы получились? И еще:мой метод не правильный?

[Dimka1]

Не врублюсь,а как синусы получились? И еще:мой метод не правильный?

Там писанины очень много

[Белый кролик]

Ну я же не варвар,меня бы устроил ответ,что вы выделили полный квадрат по ф.с.у.
Ща порешаю по вашей методе.

[Dimka1]

Ещё одно уравнение,которое я даже преобразовать не могу.Оно должно свестись к квадратному.
sin4x=(1+\( \sqrt{2} \))(sin2x+cos2x-1).Если можно мне тонко намекнуть в каком направлении мне двигаться,буду благодарен.
Ответ на это уравнение:\( \frac{\pi}{8} \)+\( {\pi} \)n.
(\( {(-1)}^{n} \) -1)\( \frac{\pi}{8} \)+\( \frac{\pi}{2} \)n.

Вот так.