Помогите разобраться (механика)

[Hellko]

Условие задачи: Стержень длиной l шарнирно соединен с муфтами А и В, которые перемещаются по двум взаимно перпендикулярным рейкам. Муфта А движется с постоянной скоростью Va. найти скорость Vb муфты B. В момент когда угол OAB= \( \alpha \). Рисунок прилагается.

[Hellko]

Решение:
Возьмем ось Х по длине стержня. Тогда проекция скорости \( V_a \) на эту ось \( V_a_x=V_a\cos(\alpha) \). А проекция скорости \( V_b \) на эту ось \( V_b_x=V_b\sin(\alpha) \).
Из условия того, что стержень не растягивается и не сжимается получаем \( V_a_x=V_b_x \) следовательно \( V_b=V_a\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} \).
Это верное решение.

Однако я решал еще вот так. чертеж во вложении.
Возьмем в начальный момент времени (угол альфа = 90 градусов) стержень находится ровно вертикально. Через некоторое время t стержень находится под углом альфа.
За это время положение его на вертикальной балке изменилось на Δx, а на горизонтальной на Δl.
Длина вертикальной балки под стержнем x=l-Δx.
Тогда:
\( \tan(\alpha)=\frac{l-dx}{dl} \) (вместо Δ пишу d, ибо хз как Δ в texe)
\( \cos(\alpha)=\frac{dl}{l} \)
Отсюда находим: Δ\( l=l\cos(\alpha) \)
Подставляем: \( \tan(\alpha)=\frac{l-dx}{l\cos(\alpha)} \)
\( l\sin(\alpha)=l-dx \)
\( dx=l\left(1-\sin(\alpha)\right) \)
Известно, что нижний конец пройдет расстояние Δl со скростью Va за время t. За это же время верхний конец пройдет Δx со скростью Vb
\( t=\frac{dl}{V_a} \)
\( t=\frac{dx}{V_b} \)
\( V_b=\frac{dx}{dl}V_a=\frac{l\left(1-\sin(\alpha)\right)}{l\cos(\alpha)}V_a=\frac{(1-\sin(\alpha))}{\cos(\alpha)}V_a \)
И полученный ответ как бы не совпадает с правильным решением. Собственно вопрос. Где ошибка в рассуждениях?

[si2213]

  В термехе на эту тему существует теорема: (по памяти) проекции скоростей двух точек, принадлежащих одному телу, на прямую, проходящую через эти точки, равны друг другу.
Матеметически:\( {V_A} \cdot Cos(\alpha ) = {V_B} \cdot Cos(\beta ) \)
По поводу вашего решения: если принять, что (например) точка А движется с постоянной, то точка В будет двигаться с ускорением, т.е. не равномерное движение. Поэтому соотношение   между Δl и Δx нелинейная.
Моё мнение.
Удачи.

[Hellko]

я тоже об этом думал. но мне все таки интересно можно ли тогда как нибудь найти функцию скорости, не используя указанное выше соотношение

[si2213]

ну в приципе то всё можно, только зачем это нужно. Цель должна оправдывать затраченные средства. На мой взгляд,
если такая зависимость и существует, то она будет тойже зависимостью, только математически неупращенной. Пройти тот же путь, который прошли до вас, это наверное также, как покорить Эверест только для себя, чтобы преобрести опыт, но для этого ищите сотоварищей, таких же как и вы.
мне интереснее искать что-то новое и делать из непонятного понятное и радоваться за других, когда им повезёт больше, чем мне. Жизнь прекрасна и удивительна.
Удачи.