Вычислить интеграл

[DeadChild]

\( \int \frac{dt}{t^2 \sqrt{t^2-1}}= \)
Что делала... Замену пробовала сделать
\( t^2+1=u \)
\( t^2=u-1 \)
\( 2tdt=du \)
\( dt=\frac{du}{2\sqrt{u-1}} \)
\( =\frac{1}{2}\int\frac{du}{\sqrt{u-1}(u-1)u} \)
Потом еще одну замену...
\( \sqrt{u-1}=v \)
\( u-1=v^2 \)
\( du=2vdv \)
\( =\int \frac{vdv}{vv^2(v^2+1)} \)
Правильно думаю или нет?

[tig81]

А попробуйте сразу сделать замену \( t=\frac{1}{y} \)
Либо сразу тригонометрическую

[DeadChild]

\( dt=-\frac{dy}{y^2} \)
\( -\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{1}{y^2}-1}} \)
потом думаю под общий знаменатель, у в числителе будет. И там уже почти табличный.

[DeadChild]

\( -\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{1-y^2}{y^2}}}=-\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=-\int \frac{d(y^2-1)}{\sqrt{1-y^2}} \)

[tig81]

\( dt=-\frac{dy}{y^2} \)
\( -\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{1}{y^2}-1}} \)
потом думаю под общий знаменатель, у в числителе будет. И там уже почти табличный.

Ну вроде да.

[DeadChild]

\( 2\sqrt{1-y^2}+C \) так будет?

[tig81]

\( 2\sqrt{1-y^2}+C \) так будет?

про обратную замену не забыли?

[DeadChild]

Ага, забыла.
\( 2\sqrt{1-\frac{1}{t^2}} \)

[DeadChild]

Вот и получается \( 2\frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \)
Почему когда в Mathematica проверяю там без 2 ответ получается?

[tig81]

Вот и получается \( 2\frac{\sqrt{t^2-1}}{t} \)

+С

Почему когда в Mathematica проверяю там без 2 ответ получается?

А действительно, 2 не должно быть.

[DeadChild]

А куда оно пропало?

[DeadChild]

Всё, знаю. Я 1/2 забыла

[tig81]

Всё, знаю. Я 1/2 забыла

Когда замену делали?

[DeadChild]

Нет. Когда у под дифференциал заносила.
\( -\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{1}{2}\int \frac{d(y^2-1)}{\sqrt{1-y^2}} \)

[tig81]

Нет. Когда у под дифференциал заносила.
\( -\int \frac{ydy}{\sqrt{1-y^2}}=-\frac{1}{2}\int \frac{d(y^2-1)}{\sqrt{1-y^2}} \)

А, ну или так.