wolframalpha.com

[chev]

Я думаю, что если хорошо знать как решать задачи в wolframalpha.com(математика), то можно получить с помощью него большую выгоду.
Но вот сам я знаю не много, только простые вещи.
На wolframalpha.com есть раздел с примерами. Я вот не знаю ограничиваются ли возможности wolframalpha.com тем, что есть в разделе с примерами. Может wolframalpha.com умеет что-то больше?
Привожу ниже фотку с задачами.
1)С помощью wolframalpha.com я могу найти сумму первой задачи, но без доказательства.
2)Во второй задаче с помощью wolframalpha.com я могу узнать сходится ли или нет, но тоже без доказательства.
3)Для третьей задачи wolframalpha.com дает какой-то ответ, но я не могу в нем разобраться.
Остальные задачи я вообще не знаю как вводить в wolframalpha.com.

[Alexdemath]

Очень низкое качество скана, особенно плохо видно ряды в первом задании.

[chev]

Вот получше скан ссылка

[Alexdemath]

Какой вариант - 11 или 12??

[chev]

Любой вариант. Пусть будет 11. Задачи подобные. Как их решать в wolframalpha.com ?

[Alexdemath]

Ни одна из них не решается в WolframAlpha!

Вариант 11:
задание 1.
1) сравните с рядом обратных квадратов, так как при \( n\geqslant1 \), очевидно, выполняются неравенства

\( 0<\frac{\ln{n}}{n^3+n+1}<\frac{n}{n^3+n+1}<\frac{1}{n^2} \)

2) признак Даламбера

\( a_n = \frac{n^2}{(n + 2)!} = \frac{n^2}{n!(n + 1)(n + 2)} \)

\( a_{n+1}= \frac{(n+1)^2}{(n+3)!} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n!(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \)

\( \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n!(n + 1)(n + 2)(n + 3)}:\frac{n^2}{n!(n + 1)(n + 2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2(n + 3)} \)

Теперь вычислите предел.

3) вспомните область значений арктангенса и, так же как и в 1), используйте признак сравнения

\( 0<\frac{\sqrt{\operatorname{arctg}n}}{n^2+1}< \frac{\sqrt{\pi/2}}{n^2+1}<\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{n^2} \)

4) не видно, в какой степени логарифм

[chev]

В n степени

[Alexdemath]

тогда для 4) используйте радикальный признак Коши

[chev]

Вариант 11:
задание 1.
1) сравните с рядом обратных квадратов, так как при \( n\geqslant1 \), очевидно, выполняются неравенства

\( 0<\frac{\ln{n}}{n^3+n+1}<\frac{n}{n^3+n+1}<\frac{1}{n^2} \)

Ряд 1/n^2 сходится, поэтому по признаку сравнения рядов исходный ряд тоже сходится. - это конец решения, я так понимаю.
Для того, чтобы сравнить эти два ряда вы взяли еще один дополнительный. Правильно я понимаю, что можно брать сколько угодно доп. рядов, если они ничего не нарушают?

[chev]

2) признак Даламбера

\( a_n = \frac{n^2}{(n + 2)!} = \frac{n^2}{n!(n + 1)(n + 2)} \)

\( a_{n+1}= \frac{(n+1)^2}{(n+3)!} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n!(n + 1)(n + 2)(n + 3)} \)

\( \frac{a_{n + 1}}{a_n} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n!(n + 1)(n + 2)(n + 3)}:\frac{n^2}{n!(n + 1)(n + 2)} = \frac{n^2 + 2n + 1}{n^2(n + 3)} \)

Теперь вычислите предел.

Предел = L = 0 < 1, значит ряд сходится.

3) вспомните область значений арктангенса и, так же как и в 1), используйте признак сравнения

\( 0<\frac{\sqrt{\operatorname{arctg}n}}{n^2+1}< \frac{\sqrt{\pi/2}}{n^2+1}<\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{n^2} \)

1/n^2 сходится, поэтому исходный ряд сходится.

4) L=0 < 1, значит ряд сходится.