доказать равенство (lim ... = ...)

[buka13]

видимо так и есть.... главное-доказать это преподавателю.......

[Dimka1]

видимо так и есть.... главное-доказать это преподавателю.......

при a>1
n(1/aⁿ-1)=n(1/беск -1)=беск(0-1)=-беск

при 0<a<1 выражение примет вид
n(aⁿ -1)=беск(беск-1)=беск

при a=1 докажите самостоятельно

[buka13]

хорошо. спасибо за ответы!

[buka13]

Тут результат зависит от a:

\( 0<a<1 \, \qquad \to \, + \infty \)

\( a>1 \, \qquad \, \to -\infty \)

при а=1, ->  0

последний вопрос - как вы получили последнее выражение? у меня не получается раскрыть неопределенность 1 в степени бесконечность, если подставлять a=1 в предел

[Hellko]

если я не ошибаюсь 1 в степени бесконечность будет 1.
та неопределенность которая 1 в степени бесконечность это 1 и еще чуть чуть в степени бесконечность.

[tig81]

если я не ошибаюсь 1 в степени бесконечность будет 1.

Почему вы так решили?
Т.е. \( \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1? \)

[renuar911]

Бука! Ваше новое тождество - это новый рывок в математике. Ни один матпакет не определяет, что правая и левая части тождественны. Где-то Вы ошиблись.
Если уж говорить о ln(a), то через предел он определяется так:

\( ln(a)=\lim \limits_{ n\to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k (a-1)^k}{k} \)

[Hellko]

если я не ошибаюсь 1 в степени бесконечность будет 1.

Почему вы так решили?
Т.е. \( \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1? \)

та неопределенность которая 1 в степени бесконечность, это (1 и еще чуть чуть) в степени бесконечность.

[renuar911]

Это обязан знать каждый:

\( \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e \)

[buka13]

Бука! Ваше новое тождество - это новый рывок в математике. Ни один матпакет не определяет, что правая и левая части тождественны. Где-то Вы ошиблись.
Если уж говорить о ln(a), то через предел он определяется так:

\( ln(a)=\lim \limits_{ n\to \infty} \sum \limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k (a-1)^k}{k} \)

ну вообще я же написала в своем первом сообщении, что у меня есть подозрение на опечатку в задании. без обид, но если бы вы внимательно читали сообщения и само задание, то заметили бы, что там такое задание и есть -ДОКАЗАТЬ. и равенство уже готовое ДАНО.
PS: за комплимент про "новый рывок в математике" спасибо,но его нужно говорить не мне,а тому, кто сочиняет такие гениальные задания. =)
ВСЕМ СПАСИБО ЗА ОБСУЖДЕНИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ! я полагаю, тема закрыта   

[renuar911]

Я понял Вашу ошибку. Надо было так:

\( \lim \limits_{n \to \infty} n(a^{\frac{1}{n}}-1)= ln(a) \)

Теперь тождество действительно верное. Что аналогично:

\( \lim \limits_{n \to 0} \frac{a^{n}-1}{n}= ln(a) \)

Здесь просто эквивалентная замена:

\( a^n-1 \approx n \cdot ln(a) \)

Отсюда все легко получается.

[buka13]

Я понял Вашу ошибку. Надо было так:

\( \lim \limits_{n \to \infty} n(a^{\frac{1}{n}}-1)= ln(a) \)

Теперь тождество действительно верное. Что аналогично:

\( \lim \limits_{n \to 0} \frac{a^{n}-1}{n}= ln(a) \)

Здесь просто эквивалентная замена:

\( a^n-1 \approx n \cdot ln(a) \)

Отсюда все легко получается.

спасибо большое за такую версию. возможно действительно так  и есть
(получается тот,кто печатал это задание, ошибся дважды...  к сожалению это никак не проверить - неизвестно,откуда брались и перепечатывались эти задания.)

[renuar911]

Главное, что Вы узнали истину. А за ошибки пусть отвечают другие.