доказать равенство (lim ... = ...)

[buka13]

Здравствуйте! второй день бьюсь над примером, не могу доказать-получается другой ответ. есть подозрение на опечатку в задании. вот собственно и оно само:
доказать равенство:

lim [ n*(1/a^n - 1) ] = lna
n->бесконечность

буду бесконечно признательна герою, решившему это задание =)

[tig81]

Показывайте свое доказательство

П.С. А как задание звучит?

[buka13]

так и звучит-доказать равенство
вот мое решение(одно из очень многих):

[buka13]

пыталась еще искусственно вводить нечто, чтобы было похоже на замечательные пределы,но получилась все равно бесконечность.
также пробовала по следствию из 2го замечательного предела попробовать доказать(внизу картинка), но все равно не получается,но в этом случае уже мешает n стремящееся к бесконечности. такое ощущение,что n должно стремиться к 0.

[tig81]

так и звучит-доказать равенство

Скорее всего, это надо сделать по определению. Посмотрите, что называется пределом числовой последовательности.

[buka13]

сейчас посмотрю.

[tig81]

сейчас посмотрю.

Подобные примеры есть в Рябушко (ссылка также есть у меня в подписи)

[renuar911]

Тут результат зависит от a:

\( 0<a<1 \, \qquad \to \, + \infty \)

\( a>1 \, \qquad \, \to -\infty \)

[buka13]

вот там в условии только сказано, что а>0

[buka13]

я посмотрела примеры в учебнике Рябушко, попробовала воспользоваться равенством lim (при n -> бесконечность) a^n/n! = 0, но все равно получается бесконечность. помогите, пожалуйста,а то мне уже завтра сдавать надо !

[Dimka1]

Тут результат зависит от a:

\( 0<a<1 \, \qquad \to \, + \infty \)

\( a>1 \, \qquad \, \to -\infty \)

при а=1, ->  0

[buka13]

объясните, пожалуйста, решение ! у меня при любых a не получается этот lna! а надо, чтобы получился именно он

[Dimka1]

не будет там lna
При а>1 предел равен -бесконечность
При 0<а<1 предел равен бесконечность
При а=1 предел равен 0

[buka13]

проблема в том, что это написано в задании! надо доказать, что это выражение равно именно lna

[Dimka1]

проблема в том, что это написано в задании! надо доказать, что это выражение равно именно lna

Не докажите Вы это, т.к. это непраильный ответ.

Возмите частный пример. При a=2 получаем выражение n/([1/2^n]-1) и в ответе должно получиться ln2. Однако если построить график при n=1.......1000000, то кривая постоянно устремляется в минус бесконечность, но не к ln2.
В книжке опечатка.