Помогите найти предел!!!

[antonyem]

Вот этот:

[Dimka1]

0

[berkut_174]

Подскажите здесь необходимо делать замену вот так:

\( t = 4n + 1 \)

или

\( t = \frac{3}{4n + 1} \)

или вообще по другому решать?

[Dimka1]

По другому.

[renuar911]

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3^n}{(4n+1)^n}=\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \frac{\frac{3}{n}}{4+\frac{1}{n}}\right )^n=0 \)

[berkut_174]

Я так тоже решал. Ну получается 0 в степени бесконечность как бы... Разве это не есть неопределенность? 

[renuar911]

Посудите сами: если бы внутри скобок n была бы постоянной и равной 1, то все равно предел бы стал равным нулю, поскольку дробь меньше единицы. А ведь на самом деле дробь еще более испаряется с увеличением n. Поэтому, как мне кажется, должно однозначно идти к нулю.

[antonyem]

Но нужно именно показать ход решения, а не мои домыслы! 

[berkut_174]

Но нужно именно показать ход решения, а не мои домыслы! 

А это что?  8)

\( \lim \limits_{n \to \infty} \frac{3^n}{(4n+1)^n}=\lim \limits_{n \to \infty} \left ( \frac{\frac{3}{n}}{4+\frac{1}{n}}\right )^n=0 \)

[Dimka1]

Но нужно именно показать ход решения, а не мои домыслы! 

lim [3/(4n+1)]^n=a
Логарифмируем обе части
lim ln[3/(4n+1)]^n=ln a
lim n*ln[3/(4n+1)]=ln a
lim (беск)*ln 0=ln a
(беск)*(-беск)=ln a
-беск=ln a
a=e^(-беск)
a=1/e^(беск)=1/беск=0

т.е  lim [3/(4n+1)]^n=0

p.s. Везде n->беск

[renuar911]

Еcли Вы хотите совсем строго, то можете разложить в ряд Тейлора при n=бесконечность:

\( \frac{1}{e^{1/4}2^{2n}}\bigg {(} 1+\frac{1}{32n}-\frac{29}{6144 n^2}+\frac{161}{196608 n^3}- ... \bigg {)} \)

Тут уж не придерешься - при бесконечном n  будет точно 0.