ДУ первого порядка

[Casper]

Здравствуйте!
Нужно решить следующее ду
\( xy^{\prime}=\sqrt{y^2-x^2} \)

Вот мое решение
\(
\left [\begin{matrix}
y>x\\
y<-x
\end{matrix}\right. \)
(хотя это наверно не суть важно)

\( x^2y^{\prime}^2=y^2-x^2 \)
Дальше решаю соответствующее однородное уравнение
\( x^2y^{\prime}^2=y^2 \)
\( y_{od}=Cx \)
Методом вариации постоянной
\( y_{od}(x)=C(x)x \)
\( y_{od}^{\prime}=C^{\prime}x+C \)

\( x^2(C^{\prime}x+C)^2-C^2x^2=-x^2 \)
\( xC^{\prime}^2+2CC^{\prime}=-x \)
а что делать с этим чудом не знаю.
Продолжать искать решение однород. ур-я, затем частное - по-моему глупость полная.)

Также пробовал делать замену \( y=vx \), тоже ничего хорошего.

Думаю, его в аналитике не решить.
Что подскажете?
Спасибо.

[berkut_174]

Вот так решал:



Не знаю правильно или нет, но у меня получился ответ y/x+C=-ln|x|

[tig81]

Не знаю правильно или нет, но у меня получился ответ y/x+C=-ln|x|

Ход решения верен, а как ответ получили, надо смотреть

[tig81]

Здравствуйте!
Нужно решить следующее ду
\( xy^{\prime}=\sqrt{y^2-x^2} \)

Вот мое решение
\( x^2y^{\prime}^2=y^2-x^2 \)
Дальше решаю соответствующее однородное уравнение

Сложно пошл как-то. Посмотрите/почитайте про однородные ДУ.

[berkut_174]

Ход решения верен, а как ответ получили, надо смотреть

Ответ неверный! Т.к. ошибочно возводил в квадрат во время решения. Так что на ответ не ровняйтесь!

[Casper]

Сложно пошл как-то. Посмотрите/почитайте про однородные ДУ.

Про однородное ДУ, причем здесь это. Однородное - проще быть не может.

[Casper]

Кажись дошло, благодаря вам.

\( y=vx \)
\( y^{\prime}=v^{\prime}x+v \)
\( v^{\prime}x+v=\sqrt{v^2-1} \)
\( \frac{dv}{\sqrt{v^2-1}-v}=\frac{dx}{x} \)

[tig81]

Похоже, что так.

[renuar911]

Пост #6 верен, но продолжение очень сложное. У меня ответ получается только через функцию Ламберта. А именно:

\( y=-\frac{i\, x  \left[ {W} \left( -{x}^{4}e^{1+2C_1}\right)-1 \right]}{2\sqrt{W(-x^4 e^{1+2C_1})}}

 \)