Помогите разложить функцию в ряд Тейлора

[Benis]

Функцию
\( f(x) = \ln \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) \) необходимо разложить в ряд Тейлора.

Стандартное разложение существует только для функции \( f(x) = \ln \left( {1 + x} \right) \)

Как быть?

[renuar911]

В это стандартное разложение ставьте \( \frac{x^2}{2} \)  вместо \( x \) и получите типа:

\( f(x) \approx \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{24}-\frac{x^8}{64}+... \)

(пишу по памяти, так что меня проверяйте).

[Benis]

Так что ли?
\( \ln \left( {1 + {{\left( {\frac{x}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \right) = \frac{x}{{\sqrt 2 }} - \frac{{{x^2}}}{{2{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{{{x^3}}}{{3{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} - \frac{{{x^4}}}{{4{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}}} + \frac{{{x^5}}}{{5{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^5}}} - \frac{{{x^6}}}{{6{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^6}}} +  \)

[tig81]

Нет. Запишите стандартное разложение для \( f(x) = \ln \left( {1 + x} \right) \)

[Benis]

Так?
\( \ln \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{{2 \cdot 4}} + \frac{{{x^6}}}{{3 \cdot 8}} - \frac{{{x^8}}}{{4 \cdot 16}} + \frac{{{x^{10}}}}{{5 \cdot 32}} - \frac{{{x^{12}}}}{{6 \cdot 64}} \)

[tig81]

Так?
\( \ln \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{2}} \right) = \frac{{{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{{2 \cdot 4}} + \frac{{{x^6}}}{{3 \cdot 8}} - \frac{{{x^8}}}{{4 \cdot 16}} + \frac{{{x^{10}}}}{{5 \cdot 32}} - \frac{{{x^{12}}}}{{6 \cdot 64}} \)

Сравните с

\( f(x) \approx \frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{24}-\frac{x^8}{64}+... \)