Решение диф. уравнения операторным методом

[Benis]

Задание:
Найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями операторным методом:

функция задана графиком:


Решение:
Заменяем на изображения:
\( x(t) =  > F(p) \)
\( x'(t) =  > p \cdot F(p) - x(0) = p \cdot F(p) \)
Получаем изображение ступенчатой функции:
\( F(p) = \int\limits_0^1 {{e^{ - pt}}}  \cdot f(t) \cdot dt + \int\limits_1^\infty  {{e^{ - pt}}}  \cdot f(t) \cdot dt = \int\limits_0^1 {{e^{ - pt}}}  \cdot 1 \cdot dt + \int\limits_1^\infty  {{e^{ - pt}}}  \cdot 0 \cdot dt =  \)
\(  = \int\limits_0^1 {{e^{ - pt}}} dt = \left. { - \frac{{{e^{ - pt}}}}{p}} \right|_0^1 =  - \frac{{{e^{ - p}}}}{p} + \frac{1}{p}\ \)
Уравнение в изображениях:
\( p \cdot F(p) + F(p) =  - \frac{{{e^{ - p}}}}{p} + \frac{1}{p}\ \)

Решаем относительно F(p):
\( F(p) = \frac{{1 - {e^{ - p}}}}{{p(p + 1)}}\ \)

Раскладываем на элементарные дроби:
\( F(p) = \frac{1}{{p(p + 1)}} - \frac{{{e^{ - p}}}}{{p(p + 1)}} \)

Заменяем изображения оригиналами:
\( \frac{1}{{p(p + 1)}} =  > (1 - {e^{ - t}}) \)

А как найти оригинал для \( \frac{{{e^{ - p}}}}{{p(p + 1)}} \) ?

[Нерадивый Ученик]

7