Исследовать на сходимость ряд

[Frrr]

Нужно исследовать сходимость ряда.
Скажите, пожалуйста, правильно ли я решила?

[renuar911]

Я численно находил сумму этого ряда и она оказалась конечной, а именно приблизительно -0,109
Так что ищите ошибку в Ваших рассуждениях.

[tig81]

Почему \( \frac{1}{3}<\frac{1}{5} \)?

[renuar911]

Мои прикидки подтвердились. Если набить в Мапл:

evalf[30](sum((-1)^n*n^2/(n^3+2),n=1..infinity));

то получим сумму ряда:

\( -0.108920697934082128641011849712 \, -\, 0.417\cdot 10^{-28} i \)

Чем большую точность беру, тем меньше мнимая часть. То есть мнимая часть практически нулевая.

[Frrr]

Почему \( \frac{1}{3}<\frac{1}{5} \)?

там \( \frac{2}{5}\ \)

[Frrr]

Я численно находил сумму этого ряда и она оказалась конечной, а именно приблизительно -0,109
Так что ищите ошибку в Ваших рассуждениях.

а я правильно применила признак Лейбница? или к этому ряду нужно использовать другой признак?

[renuar911]

 Признак Лейбница:
Знакочередующийся ряд \( \sum \limits _{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}u_n \)сходится, если:

1) Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает.
В Вашем случае (начиная со второго члена) условие выполняется:
\( 0,400>0.310>0.242>0.197>0.165>0.142>0.125>0.111>0.100... \)

2)Общий член ряда стремится к нулю.
В Вашем случае это условие выполняется

3) Сумма S ряда удовлетворяет неравенствам  \( 0< S < u_1 \)

В Вашем случае, если вычислить сумму ряда для первых 50 членов, то получим 0,099. Первый член  \( U_1=0.333 \)
То есть условие 3) соблюдено.

Следовательно, ряд сходится условно (поскольку ряд, составленный из модулей членов, расходится - это я проверил численно).

Единственное, что сам не знаю - влияет ли степень при (-1). Я ее принимал не как у Вас, а (n+1).

[Frrr]

спасибо

[Frrr]

посмотрите, пожалуйста, у меня ещё один пример.
Для ряда с положит. членами нужно находить сходится он абсолютно или условно?

[Белый кролик]

Мне не нравится,как вы вынесли n! за скобку(пятая строка).По-моему так делать нельзя.По определению факториала (n+2)!=1*2*3*...n*(n+1)*(n+2);(n+1)!=1*2*3...*n*(n+1).Ряд расходится.

[Frrr]

спасибо