Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл

[Sergey Ch]

затем помогли
\( \frac{3}{2}\int \sin 2t \sqrt {15 \cos^2 t+1} \,dt= 3 \int \sin t\cos t \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, dt=-3 \int \cos t \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, d \cos t=-\frac{3}{2} \int \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, d \cos^2 t= \)

[Sergey Ch]

заменил z=cos^2(t)
получил

[Sergey Ch]

дальше избавился от корня
\( -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{15} \int (15 z+1)^{\frac{1}{2}} d (15 z+1) \)

[Dlacier]

Не совсем то, что я просила сделать.) Ниже то, что я от вас хотела добиться.
Пределы Вы похоже при замене менять не умеете...но это уже не сегодня.
Вообщем резюмирую то, что должно у вас получится, т.к. уже ночь и пора спать.)
Будет что не понятно, спрашивайте, завтра отвечу (если это не сделает за меня кто-нибудь другой:) )

\( \large{-\frac{3}{2}\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\sqrt {15\cos^2 t+1}\,d\cos^2 t=} \)

(замена \( cos^2 t=z \), не забываем про пределы!)

\( \large{=-\frac{3}{2}\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\sqrt {15z+1}\,dz=-\frac{1}{10}\cdot \frac{2}{3}(15z+1)^{\frac{3}{2}}|_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}=} \)

\( \large{=-\frac{1}{15}\left(\left(15\cdot \frac{3}{4}+1\right)^{\frac{3}{2}}-\left(15\cdot \frac{1}{2}+1\right)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{1}{120}\left(34\sqrt{34}-343\right)} \)

Могу ошибаться при расчете, решайте и проверяйте)

[Sergey Ch]

Спокойной ночи!