Задача интересная, но очень уж простая. Итак, нужно вычислить сумму ряда:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \, \frac{2^n x^{n+1}}{n(n+1)} \)
Если взять производную общего члена, то будем иметь хорошо известный ряд:
\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \, \frac{2^n x^n}{n}=ln(2x+1) \)
Интегрируя последнее выражение и отбрасывая константу \( -\frac{1}{2} \) находим:
\( \int ln(2x+1) dx = ln(2x+1)\left ( x+\frac{1}{2}\right ) - x \)
Производная от этого ответа даст \( ln(2x+1) \). Все верно.
