Помогите пожалуйста найти длину дуги,заданной параметрическими уравнениями

[Sergey Ch]

Добрый день всем, помогите пожалуйста вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

[Sergey Ch]

Нашел формулу но не могу её решить

[Sergey Ch]

не могу понять как избавиться от корня

[Sergey Ch]

Все время получается

[Casper]

Формулу  нужно грамотно использовать.
Напиши для начала чему у тебя равно \( x^{\prime}(t) \) и \( y^{\prime}(t) \)

[Sergey Ch]

x'(t)=-12cos^2(x)sin(x)
y'(t)=3cos(x)sin^2(x)

[Casper]

Только аргументы \( t \), а не \( x \).
Теперь подставляй все это в формулу.

[Casper]

Хотя сначала можно упростить, записать через синус двойного угла.

[Sergey Ch]

а вот это правильно

[Sergey Ch]

Через синус двойного угла ничего не получается

[Dimka1]

x'(t)=-12cos^2(x)sin(x)
y'(t)=3cos(x)sin^2(x)

x'(t)=-12cos^2(x)sin(x)=-6cosx*sin2x
y'(t)=3cos(x)sin^2(x)=(3/2)sin2x*sinx

теперь подставляйте в свою формулу, затем 9/4*(sin2x)^2 вытаскивайте из под корня

[Sergey Ch]

Получается вот это, но как дальше быть

[Selyd]

Подкоренное возьми как новую переменную, производная будет равна тому sin2x,
получается табличный интеграл. Нато пересчитать пределы.

[Dlacier]

Синус двойного угла выносится за корень, но как оказался он за занаком интеграла?

\( \frac{3}{2}\int \sin 2t \sqrt {15 \cos^2 t+1} \,dt= 3 \int \sin t\cos t \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, dt=-3 \int \cos t \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, d \cos t=-\frac{3}{2} \int \sqrt {15 \cos^2 t+1}\, d \cos^2 t= \)

Дальше совсем просто, замена \( z=\cos t \) и вперед)

P.S. Внимательно с пределами интегрирования!

[Sergey Ch]

Спасибо огромное, теперь что то проясняется!